12.6.3 自伴算子

算子 $T\in B\left(H\right)$ ( $H$ 是希尔伯特空间) 称作自伴的,是指 $T^{\ast }=T$ . 在这种情形下, 有

$$\begin{array}{}\text{(12.184a)}& \left(Tx,y\right)=\left(x,Ty\right),x,y\in H,\end{array}$$

并且对于每一个 $x\in H,\left(Tx,x\right)$ 是实数. 于是有等式

$$\begin{array}{}\text{(12.184b)}& \parallel T\parallel =\underset{\parallel x\parallel =1}{sup}\left|\left(Tx,x\right)\right|,\end{array}$$

并且若记 $m=m\left(T\right)=\underset{\parallel x\parallel =1}{inf}\left(Tx,x\right),M=M\left(T\right)=\underset{\parallel x\parallel =1}{sup}\left(Tx,x\right)$ ,那么还成立

$$\begin{array}{}\text{(12.185)}& m\left(T\right)\parallel x{\parallel }^2\le \left(Tx,x\right)\le M\left(T\right)\parallel x{\parallel }^2\text{ 和 }\parallel T\parallel =r\left(T\right)=max\{m,M\}.\end{array}$$

等式 (12.184a) 刻画了自伴算子的特征. 自伴 (有界) 算子的谱位于区间 $\left[n,M\right]$ ,并且 $m,M\in \sigma \left(T\right)$ .

12.6.3.1 正定算子

在 $B\left(H\right)$ 的所有自伴算子的集合中可以按如下方式引进偏序:

$$\begin{array}{}\text{(12.186)}& T\ge 0\text{ 当且仅当 }\left(Tx,x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }x\in H.\end{array}$$

算子 $T$ 当 $T\ge 0$ 时称作正的(或更确切地说,称作正定的) ${}^{\left(1\right)}$ . 对于任意自伴算子 $T$ (根据第 879 页 12.4.1.1 中 (H1)),有 $\left(T^{2}x,x\right)=\left(Tx,Tx\right)\ge 0$ ,从而 $T^2$ 是正定算子. 每个正定算子都有平方根,即存在唯一的正定算子 $W$ 使得 $W^2=T$ . 此外,所有自伴算子的向量空间是一个 $\mathrm{K}$ 空间 (康托洛维奇空间,参见第 863 页 12.1.7.4), 其中算子

$$\begin{array}{}\text{(12.187)}& \left|T\right|=\sqrt{T^2},T^{+}=\frac{1}{2}\left(\left|T\right|+T\right),T^{-}=\frac{1}{2}\left(\left|T\right|-T\right)\end{array}$$

是与 (12.37) 相对应的元. 在利用某些斯蒂尔切斯积分(参见第 673 页 8.2.3.1, 2. 以及 [12.1], [12.12], [12.13], [12.15], [12.18], [12.21]) 研究自伴算子的谱分解、谱表示和积分表示时, 这些结果具有特别重要的作用.

12.6.3.2 希尔伯特空间中的投影

设 $H_0$ 是希尔伯特空间 $H$ 是子空间. 那么根据投影定理 (参见第 881 页 12.4.2), 每个元 $x\in H$ 在 $H_0$ 上都有投影 $x^{\prime }$ ,因此利用 $Px=x^{\prime }$ ,可以定义 $H$ 上取值于 $H_0$ 的算子 $P.P$ 称作 $H_0$ 上的投影算子. 显然, $P$ 是线性连续的,并且 $\parallel P\parallel =1.H$ 中连续线性算子是 (某个子空间上) 投影的充分必要条件是:

**a) $P\ast \ast =P^{\ast }$ ,即 $P$ 是自伴的,并且

**b) $P^2\ast \ast =P$ ,即 $P$ 是幂等的.