12.2.2 完备的距离空间

12.2.2.1 柯西序列

设 $X=\left(X,\rho \right)$ 是距离空间. $X$ 中序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 称作柯西 (序) 列,是指 $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ , 存在一标号 $n_0=n_0\left(\epsilon \right)$ 使得 $\mathrm{\forall }n,m>n_0$ ,成立不等式

$$\begin{array}{}\text{(12.56)}& \rho \left(x_n,x_m\right)<\epsilon .\end{array}$$

每一个柯西序列都是有界集. 进而, 每个收敛序列都是柯西序列. 一般说来, 逆命题不成立, 见下面的例子.

$◼$ 考虑空间 ${\ell }^1$ 中赋以空间 $\mathbf{m}$ 的距离 (12.46). 显然,元 $x^{\left(n\right)}=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{n},0$ , $0,\cdots )$ 对于任意 $n=1,2,\cdots$ 属于 ${\ell }^1$ ,并且序列 ${\left\{x^{\left(n\right)}\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是该空间中一柯西列. 如果 (序列的) 序列 $\{{\left(x^{\left(n\right)}\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 收敛,则它必定按坐标收敛于元 $x^{\left(0\right)}=$ $\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots ,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\cdots \right)$ . 但 $x^{\left(0\right)}$ 不属于 ${\ell }^1$ ,因为 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=+\mathrm{\infty }$ . (参见第 616 页 7.2.1.1, 2. 调和级数)

12.2.2.2 完备距离空间

距离空间 $X$ 称作完备的,是指每个柯西列在 $X$ 中收敛. 因此完备距离空间是这样的空间, 在其中实微积分中熟知的柯西准则成立: 一个序列收敛当且仅当它是柯西列. 完备距离空间中每个闭子空间 (本身看成一个距离空间) 是完备的. 逆命题在一定方式下成立: 如果一个 (不一定完备的) 距离空间 $X$ 的子空间 $Y$ 是完备的,则集合 $Y$ 在 $X$ 中是闭的.

$◼$ 例如,空间 $\mathbf{m},{\ell }^p\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right),\mathbf{c},\mathcal{B}\left(T\right),\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),{\mathcal{C}}^{\left(k\right)}\left(\left[a,b\right]\right),L^p\left(a,b\right)\left(1\le p<\mathrm{\infty }\right)$ 等都是完备空间.

12.2.2.3 完备距离空间中的一些基本定理

1. 球套定理

设 $X$ 是一完备距离空间. 如果

$$\begin{array}{}\text{(12.57)}& \overline{B}\left(x_1;r_1\right)\supset \overline{B}\left(x_2;r_2\right)\supset \cdots \supset \overline{B}\left(x_n;r_n\right)\supset \cdots \end{array}$$

是一嵌套的闭球列,而且半径 $r_n\to 0$ ,则所有这些球之交非空,并且仅由单点组成. 如果在某个距离空间中, 对于满足上述假设的任意球序列都有此性质, 则该距离空间是完备的.

2. 贝尔纲定理

设 $X$ 是一完备距离空间,而 ${\left\{F_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 是 $X$ 中的一列闭集,使得 $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n=X$ . 那么至少存在一标号 $k_0$ 使得集合 $F_{k_0}$ 含有内点.

3. 巴拿赫不动点定理

设 $F$ 是完备距离空间 $\left(X,\rho \right)$ 的一非空闭子集. 设 $T:X\to X$ 是 $F$ 上的压缩映射,即存在一常数 $q\in [0,1)$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.58)}& \rho \left(Tx,Ty\right)\le q\rho \left(x,y\right),\mathrm{\forall }x,y\in F.\end{array}$$

假定 $Tx\in F,\mathrm{\forall }x\in F$ ,则如下结论成立:

a) 对于任意初始点 $x_0\in F$ ,迭代

$$\begin{array}{}\text{(12.59)}& x_{n+1}\text{:=}T{x}_n\left(n=0,1,2,\cdots \right)\end{array}$$

是适定的,即对于任意 $n,x_n\in F$ .

b) 迭代序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ 收敛于某个元 $x^{\ast }\in F$ .

**c) $T{x}^{\ast \ast \ast }=x^{\ast }$ ,即 $x^{\ast }$ 是算子 $T$ 的一个不动点.(12.60)

d) $T$ 在 $F$ 中唯一的不动点是 $x^{\ast }$ .

e) 如下误差估计成立:

$$\begin{array}{}\text{(12.61)}& \rho \left(x^{\ast },x_n\right)\le \frac{q^n}{1-q}\rho \left(x_1,x_0\right).\end{array}$$

巴拿赫不动点定理有时也称作压缩映射原理.

12.2.2.4 压缩映射原理的某些应用

1. 求解线性方程组的迭代方法

给定(n, n)线性方程组

$$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,$$$$\begin{array}{}\text{(12.62a)}& a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\end{array}$$

......

$$a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n.$$

根据第 1242 页 19.2.1, 可以变换成等价的方程组

$$x_1-\left(1-a_{11}\right)x_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,$$

......

$$\begin{array}{}\text{(12.62b)}& x_2+a_{21}{x}_1-\left(1-a_{22}\right)x_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\end{array}$$$$x_n+a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots -\left(1-a_{nn}\right)x_n=b_n.$$

如果算子 $T:{\mathbb{F}}^n\to {\mathbb{F}}^n$ 定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.63)}& Tx={(x_1-\sum _{k=1}^n{a}_{1k}{x}_k+b_1,\cdots ,x_n-\sum _{k=1}^n{a}_{nk}{x}_k+b_n)}^{\mathrm{T}},\end{array}$$

那么上述方程组就变成距离空间 ${\mathbb{F}}^n$ 中的不动点问题

$$\begin{array}{}\text{(12.64)}& Tx=x,\end{array}$$

这里在 ${\mathbb{F}}^n$ 中赋以欧几里得距离 (12.43)、最大值距离 (12.44) 或绝对值距离 $\rho \left(x,y\right)=$ $\sum _{k=1}^n\left|x_k-y_k\right|$ (比较 (12.45)). 如果三个数

$$\begin{array}{}\text{(12.65)}& \sqrt{\sum _{j,k=1}^n{\left|a_{jk}\right|}^2},\underset{1\le j\le n}{max}\sum _{k=1}^n\left|a_{jk}\right|,\underset{1\le k\le n}{max}\sum _{j=1}^n\left|a_{jk}\right|\end{array}$$

中有一个小于 1,那么 $T$ 就称为压缩算子. 根据巴拿赫不动点定理,它恰有一个不动点,它是从 ${\mathbb{F}}^n$ 中任意点出发的迭代序列的按分量收敛的极限.

2. 弗雷德霍姆积分方程

考虑第二类弗雷德霍姆积分方程 (也可参见第 817 页 11.2)

$$\begin{array}{}\text{(12.66)}& \phi \left(x\right)-{\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=f\left(x\right),x\in \left[a,b\right],\end{array}$$

这里核函数 $K\left(x,y\right)$ 和右端函数 $f\left(x\right)$ 都是连续的,这个方程可以用迭代法求解. 为此,定义算子 $T:\mathcal{C}\left(a,b]\right)\to \mathcal{C}\left(a,b]\right)$ 为

$$\begin{array}{}\text{(12.67)}& \left(T\phi \right)\left(x\right)={\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y+f\left(x\right),\mathrm{\forall }\phi \in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),\end{array}$$

于是上述积分方程就变成距离空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中不动点问题 $T\phi =\phi ($ 参见第 857 页 12.1.2,4. 中例A). 如果 $\underset{a\le x\le b}{max}{\int }_a^b\left|K\left(x,y\right)\right|\mathrm{d}y<1$ ,则 $T$ 是压缩算子,并且可以应用不动点定理. 于是其唯一解就是迭代序列 ${\left\{{\phi }_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ 的一致极限,这里迭代 ${\phi }_n=T{\phi }_{n-1}$ 从任意元 ${\phi }_0\in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 出发. 显然, ${\phi }_n=T^n{\phi }_0$ ,并且迭代序列是 ${\left\{T^n{\phi }_0\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ .

3. 沃尔泰拉积分方程

考虑第二类沃尔泰拉积分方程 (参见第 842 页 11.4)

$$\begin{array}{}\text{(12.68)}& \phi \left(x\right)-{\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=f\left(x\right),x\in \left[a,b\right],\end{array}$$

这里核函数 $K\left(x,y\right)$ 和右端函数 $f\left(x\right)$ 都是连续的. 定义沃尔泰拉积分算子

$$\begin{array}{}\text{(12.69)}& \left(V\phi \right)\left(x\right)\text{:=}{\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\mathrm{\forall }\phi \in \mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right),\end{array}$$

并令 $T\phi \text{:=}f+V\phi$ . 于是上述积分方程就化成空间 $\mathcal{C}\left(\left[a,b\right]\right)$ 中的不动点问题$T\phi =\phi$

4. 皮卡-林德勒夫定理

考虑微分方程

$$\begin{array}{}\text{(12.70)}& \dot{x}=f\left(t,x\right),\end{array}$$

其中映射 $f:I\times G\to {\mathbb{R}}^n$ 是连续的, $I$ 是 $\mathbb{R}$ 的一开区间,而 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一开区域. 假定函数 $f$ 满足相对于 $x$ 的利普希茨条件 (参见第 715 页 9.1.1.1,2.),即存在正常数 $L$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.71)}& \varrho \left(f\left(t,x_1\right),f\left(t,x_2\right)\right)\le L\varrho \left(x_1,x_2\right),\mathrm{\forall }\left(t,x_1\right),\left(t,x_2\right)\in I\times G,\end{array}$$

其中 $\varrho$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的欧几里得距离 (使用范数 (参见第 874 页 12.3.1) 和公式 (12.81), $\varrho \left(x,y\right)=\parallel x-y\parallel$ ,于是 (12.71) 可以写成 $\Vert \begin{array}{c}f\left(t,x_1\right)-f\left(t,x_2\right)\end{array}\Vert \le L\Vert \begin{array}{c}{x}_1-x_2\end{array}\Vert )$ . 设 $\left(t_0,x_0\right)\in I\times G$ . 那么存在数 $\beta >0$ 和 $r>0$ 使得集合 $\mathrm{\Omega }=\{\left(t,x\right)\in \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n:\mid t-$ $t_0\mid \le \beta ,\varrho \left(x,x_0\right)\le r\}$ 位于 $I\times \mathrm{\Omega }$ . 设 $M=\underset{\mathrm{\Omega }}{max}\varrho \left(f\left(t,x\right),0\right),\alpha =min\left\{\beta ,\frac{r}{M}\right\}$ . 于是存在数 $b>0$ 使得对于每个 $\tilde{x}\in B=\left\{x\in {\mathbb{R}}^n:\varrho \left(x,x_0\right)\le b\right\}$ ,初值问题

$$\begin{array}{}\text{(12.72)}& \dot{x}=f\left(t,x\right),x\left(t_0\right)=\tilde{x}\end{array}$$

恰有一个解 $\phi \left(t,\tilde{x}\right)$ ,即 $\dot{\phi }\left(t,\tilde{x}\right)=f\left(t,\phi \left(t,\tilde{x}\right)\right),\mathrm{\forall }t,\left|t-t_0\right|\le \alpha$ ,并且 $\phi \left(t_0,\tilde{x}\right)=\tilde{x}$ . 这个初值问题的解等价于积分方程

$$\begin{array}{}\text{(12.73)}& \phi \left(t,\tilde{x}\right)=\tilde{x}+{\int }_{t_0}^{t}f\left(s,\phi \left(s,\tilde{x}\right)\right)\mathrm{d}s,t\in \left[t_0-\alpha ,t_0+\alpha \right]\end{array}$$

的解.

如果 $X$ 表示完备距离空间 $\mathcal{C}\left(\left[t_0-\alpha ,t_0+\alpha \right]\times B;{\mathbb{R}}^n\right)$ 中的闭球 $\{\phi \left(t,x\right)$ : $d\left(\phi \left(t,x\right),x_0\right)\le r\}$ ,其中 $d$ 为距离

$$\begin{array}{}\text{(12.74)}& d\left(\phi ,\psi \right)=\underset{\left(t,x\right)\in \left\{\left|t-t_0\right|\le \alpha \right\}\times B}{max}\varrho \left(\phi \left(t,x\right),\psi \left(t,x\right)\right),\end{array}$$

那么 $X$ 在相应的诱导距离下是一个完备的距离空间. 如果定义算子 $T:X\to X$ 为

$$\begin{array}{}\text{(12.75)}& T\phi \left(t,x\right)=\tilde{x}+{\int }_{t_0}^{t}f\left(s,\phi \left(s,\tilde{x}\right)\right)\mathrm{d}s,\end{array}$$

则 $T$ 是一压缩算子,并且积分方程 (12.73) 的解是 $T$ 的唯一不动点,可以通过迭代计算得到.

12.2.2.5 距离空间的完备化

每一个 (不完备的) 距离空间 $X$ 都可以被完备; 确切地说,存在一距离空间 $\tilde{X}$ 具有如下性质:

a) $\tilde{X}$ 包含一个与 $X$ 等距的子空间 $Y$ (参见第 874 页 12.2.3,2.).

b) $Y$ 在 $\tilde{X}$ 中是几乎处处稠的.

c) $\tilde{X}$ 是完备的距离空间.

d) 如果 $Z$ 是任意一个具有性质 a) $\sim \mathrm{c}$ ) 的距离空间,那么 $Z$ 和 $\tilde{X}$ 是等距的.

用这种方式在等距意义下唯一确定的这个完备距离空间称作空间 $X$ 的完备化.