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第1章算术

1.1 基本运算法则

1.1.1 数

1.1.2 证明的方法

1.1.3 和与积

1.1.4 幂、根与对数

1.1.5 代数式

1.1.6 整有理式

1.1.7 有理式

1.1.8 无理式

1.2 有限级数

1.2.1 有限级数的定义

1.2.2 等差级数

1.2.3 等比级数

1.2.4 特殊的有限级数

1.2.5 均值

1.3 商业数学

1.3.1 利息或百分率的计算

1.3.2 复利的计算

1.3.3 分期付款的计算

1.3.4 年金的计算

1.3.5 折旧

1.4 不等式

1.4.1 纯不等式

1.4.2 特殊不等式

1.4.3 线性不等式和二次不等式的解

1.5 复数

1.5.1 虚数和复数

1.5.2 几何表示

1.5.3 复数的计算

1.6 代数方程和超越方程

1.6.1 把代数方程变换为正规形式

1.6.2 不高于四次的方程

1.6.3 n次方程

1.6.4 化超越方程为代数方程

第2章函数

2.1 函数的概念

2.1.1 函数的定义

2.1.2 实函数的定义方法

2.1.3 某些类型的函数

2.1.4 函数的极限

2.1.5 函数的连续性

2.2 初等函数

2.2.1 代数函数

2.2.2 超越函数

2.2.3 复合函数

2.3 多项式

2.3.1 线性函数

2.3.2 二次多项式

2.3.3 三次多项式

2.3.4 n次多项式

2.3.5 n次抛物线

2.4 有理函数

2.4.1 特殊的分式线性函数(反比)

2.4.2 线性分式函数

2.4.3 第I类三次曲线

2.4.4 第II类三次曲线

2.4.5 第III类三次曲线

2.4.6 倒数幂

2.5 无理函数

2.5.1 线性二项式的平方根

2.5.2 二次多项式的平方根

2.5.3 幂函数

2.6 指数函数和对数函数

2.6.1 指数函数

2.6.2 对数函数

2.6.3 误差曲线

2.6.4 指数和

2.6.5 广义误差函数

2.6.6 幂函数与指数函数的乘积

2.7 三角函数(角函数)

2.7.1 基本概念

2.7.2 三角函数的重要公式

2.7.3 振动的描述

2.8 测圆或反三角函数

2.8.1 反三角函数的定义

2.8.2 约化为主值

2.8.3 主值间的关系

2.8.4 负角公式

2.8.5 arcsinx与arcsiny的和与差

2.8.6 arccosx与arccosy的和与差

2.8.7 arctanx与arctany的和与差

2.8.8 arcsinx,arccosx及arctanx间的特殊关系

2.9 双曲函数

2.9.1 双曲函数的定义

2.9.2 双曲函数的图示

2.9.3 有关双曲函数的重要公式

2.10 面积函数

2.10.1 定义

2.10.2 利用自然对数对面积函数的确定

2.10.3 不同面积函数间的关系

2.10.4 面积函数的和与差

2.10.5 负角公式

2.11 三阶(三次)曲线

2.11.1 二分之三次抛物线

2.11.2 阿涅西箕舌线

2.11.3 笛卡儿叶形线

2.11.4 蔓叶线

2.11.5 环索线

2.12 四阶(四次)曲线

2.12.1 尼科梅德斯蚌线

2.12.2 一般蚌线

2.12.3 帕斯卡蜗线

2.12.4 心脏线

2.12.5 卡西尼曲线

2.12.6 双纽线

2.13 摆线

2.13.1 常见(标准)摆线

2.13.2 长摆线与短摆线,或次摆线

2.13.3 外摆线

2.13.4 内摆线与星形线

2.13.5 长短幅外摆线与内摆线

2.14 螺线

2.14.1 阿基米德螺线

2.14.2 双曲螺线

2.14.3 对数螺线

2.14.4 圆的渐伸线

2.14.5 回旋螺线

2.15 各种其他曲线

2.15.1 悬链线

2.15.2 曳物线

2.16 经验曲线的确定

2.16.1 步骤

2.16.2 实用的经验公式

2.17 标度与坐标纸

2.17.1 标度

2.17.2 坐标纸

2.18 多元函数

2.18.1 定义及其表示

2.18.2 平面中的不同区域

2.18.3 极限

2.18.4 连续性

2.18.5 连续函数的性质

2.19 算图法

2.19.1 算图

2.19.2 网络算图

2.19.3 贯线算图

2.19.4 三个以上变量的网络算图

第3章几何学

3.1 平面几何学

3.1.1 基本概念

3.1.2 圆函数与双曲函数的几何定义

3.1.3 平面三角形

3.1.4 平面四边形

3.1.5 平面上的多边形

3.1.6 圆和有关的图形

3.2 平面三角学

3.2.1 三角形

3.2.2 大地测量学应用

3.3 立体几何学

3.3.1 空间中的直线与平面

3.3.2 棱角、隅角、立体角

3.3.3 多面体

3.3.4 由曲面所界的立体

3.4 球面三角学

3.4.1 球面几何学的基本概念

3.4.2 球面三角形的基本性质

3.4.3 球面三角形的计算

3.5 向量代数与解析几何学

3.5.1 向量代数

3.5.2 平面解析几何

3.5.3 空间解析几何

3.5.4 几何变换和坐标变换

3.5.5 平面投影

3.6 微分几何学

3.6.1 平面曲线

3.6.2 空间曲线

3.6.3 曲面

第4章线性代数

4.1 矩阵

4.1.1 矩阵的概念

4.1.2 方阵

4.1.3 向量

4.1.4 矩阵的算术运算

4.1.5 矩阵的运算法则

4.1.6 向量范数和矩阵范数

4.2 行列式

4.2.1 定义

4.2.2 行列式计算法则

4.2.3 行列式的计算

4.3 张量

4.3.1 坐标系的变换

4.3.2 笛卡儿坐标下的张量

4.3.3 特殊性质的张量

4.3.4 曲线坐标系中的张量

4.3.5 伪张量

4.4 四元数及应用

4.4.1 四元数

4.4.2 R3中旋转的表示

4.4.3 四元数的应用

4.5 线性方程组

4.5.1 线性系,选主元法

4.5.2 解线性方程组

4.5.3 超定线性方程组

4.6 矩阵特征值问题

4.6.1 一般特征值问题

4.6.2 特殊特征值问题

4.6.3 奇异值分解

第5章代数和离散数学

5.1 逻辑

5.1.1 命题演算

5.1.2 谓词演算公式

5.2 集论

5.2.1 集合的概念、特殊集

5.2.2 集合运算

5.2.3 关系和映射

5.2.4 等价性和序关系

5.2.5 集合的基数

5.3 经典代数结构

5.3.1 运算

5.3.2 半群

5.3.3 群

5.3.4 群表示

5.3.5 群的应用

5.3.6 李群和李代数

5.3.7 环和域

5.3.8 向量空间

5.4 初等数论

5.4.1 整除性

5.4.2 线性丢番图方程

5.4.3 同余和剩余类

5.4.4 费马定理、欧拉定理和威尔逊定理

5.4.5 素数检验

5.4.6 码

5.5 保密学

5.5.1 保密学问题

5.5.2 密码体制

5.5.3 数学基础

5.5.4 密码体制的安全

5.5.5 经典密码分析方法

5.5.6 一次一密发射

5.5.7 公共密钥方法

5.5.8 DES算法(数据加密标准)

5.5.9 IDEA算法(国际数据加密标准)

5.6 泛代数学

5.6.1 定义

5.6.2 同余关系、商代数

5.6.3 同态

5.6.4 同态定理

5.6.5 簇

5.6.6 项代数、自由代数

5.7 布尔代数和开关代数

5.7.1 定义

5.7.2 对偶原理

5.7.3 有限布尔代数

5.7.4 作为序关系的布尔代数

5.7.5 布尔函数、布尔表达式

5.7.6 正规形式

5.7.7 开关代数

5.8 图论算法

5.8.1 基本概念和记号

5.8.2 无向图的遍历

5.8.3 树和生成树

5.8.4 匹配

5.8.5 可平面图

5.8.6 有向图中的路

5.8.7 运输网络

5.9 模糊逻辑

5.9.1 模糊逻辑的基本概念

5.9.2 模糊集的连接(聚合)

5.9.3 模糊值关系

5.9.4 模糊推理(近似推理)

5.9.5 逆模糊化方法

5.9.6 基于知识的模糊系统

第6章微分学

6.1 一元函数的微分

6.1.1 微商

6.1.2 一元函数微分法则

6.1.3 高阶导数

6.1.4 微分学基本定理

6.1.5 极值和拐点的确定

6.2 多元函数的微分

6.2.1 偏导数

6.2.2 全微分和高阶微分

6.2.3 多元函数的微分法则

6.2.4 微分表达式中的变量代换与坐标变换

6.2.5 多元函数的极值

第7章无穷级数

7.1 数列

7.1.1 数列的性质

7.1.2 数列的极限

7.2 数项级数

7.2.1 一般收敛定理

7.2.2 正项级数的审敛法

7.2.3 绝对收敛和条件收敛

7.2.4 某些特殊级数

7.2.5 余项估计

7.3 函数项级数

7.3.1 定义

7.3.2 一致收敛

7.3.3 幂级数

7.3.4 近似公式

7.3.5 渐近幂级数

7.4 傅里叶级数

7.4.1 三角和与傅里叶级数

7.4.2 对称函数系数的确定

7.4.3 数值法对傅里叶系数的确定

7.4.4 傅里叶级数与傅里叶积分

7.4.5 关于表中某些傅里叶级数的注

第8章积分学

8.0 积分学

8.1 不定积分

8.1.1 原函数或反导数

8.1.2 积分法则

8.1.3 有理函数的积分

8.1.4 无理函数的积分

8.1.5 三角函数的积分

8.1.6 超越函数的积分

8.2 定积分

8.2.1 基本概念、法则和定理

8.2.2 定积分的应用

8.2.3 广义积分、斯蒂尔切斯积分与勒贝格积分

8.2.4 参数积分

8.2.5 由级数展开式进行积分、特殊非初等函数

8.3 线积分

8.3.1 第一类线积分

8.3.2 第二类线积分

8.3.3 一般类型的线积分

8.3.4 线积分与积分路径无关

8.4 多重积分

8.4.1 二重积分

8.4.2 三重积分

8.5 曲面积分

8.5.1 第一类曲面积分

8.5.2 第二类曲面积分

8.5.3 一般类型的曲面积分

第9章微分方程

9.0 微分方程

9.1 常微分方程

9.1.1 一阶微分方程

9.1.2 高阶微分方程和微分方程组

9.1.3 边值问题

9.2 偏微分方程

9.2.1 一阶偏微分方程

9.2.2 二阶线性偏微分方程

9.2.3 自然科学和工程学中的一些偏微分方程

9.2.4 薛定谔方程

9.2.5 非线性偏微分方程:孤子、周期模式和混沌

第10章变分法

10.1 定义问题

10.2 历史上的问题

10.2.1 等周问题

10.2.2 捷线问题

10.3 一个自变量的变分问题

10.3.1 简单变分问题和极值曲线

10.3.2 变分法的欧拉微分方程

10.3.3 具有附加条件的变分问题

10.3.4 具有高阶导数的变分问题

10.3.5 具有数个未知函数的变分问题

10.3.6 利用参数表达式的变分问题

10.4 多个自变量函数的变分问题

10.4.1 简单变分问题

10.4.2 较一般的变分问题

10.5 变分问题的数值解

10.6 增补的问题

10.6.1 一阶和二阶变分

10.6.2 在物理学中的应用

第11章线性积分方程

11.1 引论和分类

11.2 第二类弗雷德霍姆积分方程

11.2.1 具有退化核的积分方程

11.2.2 逐次逼近法、诺伊曼级数

11.2.3 弗雷德霍姆解法、弗雷德霍姆定理

11.2.4 第二类弗雷德霍姆积分方程的数值解法

11.3 第一类弗雷德霍姆积分方程

11.3.1 具有退化核的积分方程

11.3.2 分析的基础

11.3.3 一个积分方程到一个线性方程组的约化

11.3.4 第一类齐次积分方程的解

11.3.5 对于一个给定核的两个特殊的规范正交系的构造

11.3.6 迭代法

11.4 沃尔泰拉积分方程

11.4.1 理论基础

11.4.2 通过微商得到的解

11.4.3 通过诺伊曼级数得到的第二类沃尔泰拉积分方程的解

11.4.4 卷积型沃尔泰拉积分方程

11.4.5 解第二类沃尔泰拉积分方程的数值方法

11.5 奇异积分方程

11.5.1 阿贝尔积分方程

11.5.2 有柯西核的奇异积分方程

第12章泛函分析

12.0 泛函分析

12.1 向量空间

12.1.1 向量空间概念

12.1.2 线性和放射子集

12.1.3 线性无关元

12.1.4 凸子集和凸包

12.1.5 线性算子和泛函

12.1.6 实向量空间的复化

12.1.7 有序向量空间

12.2 距离空间

12.2.1 距离空间

12.2.2 完备的距离空间

12.2.3 连续算子

12.3 赋范空间

12.3.1 赋范空间概念

12.3.2 巴拿赫空间

12.3.3 序赋范空间

12.3.4 赋范代数

12.4 希尔伯特空间

12.4.1 希尔伯特空间概念

12.4.2 正交性

12.4.3 希尔伯特空间中的傅里叶级数

12.4.4 基的存在性、等距希尔伯特空间

12.5 连续线性算子和泛函

12.5.1 线性算子的有界性,范数和连续性

12.5.2 巴拿赫空间中的连续线性算子

12.5.3 线性算子谱理论初步

12.5.4 连续线性泛函

12.5.5 线性泛函的延拓

12.5.6 凸集的分离

12.5.7 第二伴随空间和自反空间

12.6 赋范空间中的伴随算子

12.6.1 有界算子的伴随

12.6.2 无界算子的伴随

12.6.3 自伴算子

12.7 紧集和紧算子

12.7.1 赋范空间的紧子集

12.7.2 紧算子

12.7.3 弗雷德霍姆择一性

12.7.4 希尔伯特空间中的紧算子

12.7.5 紧自伴算子

12.8 非线性算子

12.8.1 非线性算子的例子

12.8.2 非线性算子的可微性

12.8.3 牛顿方法

12.8.4 绍德尔不动点定理

12.8.5 勒雷绍德尔理论

12.8.6 正非线性算子

12.8.7 巴拿赫空间中的单调算子

12.9 测度和勒贝格积分

12.9.1 集代数和测度

12.9.2 可测函数

12.9.3 积分

12.9.4 Lp空间

12.9.5 分布

第13章向量分析和向量场

13.1 向量场理论的基本概念

13.1.1 一个标量变量的向量函数

13.1.2 标量场

13.1.3 向量场

13.2 空间的微分算子

13.2.1 方向导数和空间导数

13.2.2 一个标量场的梯度

13.2.3 向量梯度

13.2.4 向量场的散度

13.2.5 向量场的旋度

13.2.6 梯度算子和拉普拉斯算子

13.2.7 空间微分算子的回顾

13.3 向量场中的积分

13.3.1 向量场中的线积分和位势

13.3.2 面积分

13.3.3 积分定理

13.4 场的求值

13.4.1 纯源场

13.4.2 纯旋场或无散场

13.4.3 有点状源的向量场

13.4.4 场的叠加

13.5 向量场理论的微分方程

13.5.1 拉普拉斯微分方程

13.5.2 泊松微分方程

第14章函数论

14.1 复变函数

14.1.1 连续性、可微性

14.1.2 解析函数

14.1.3 共形映射

14.2 复平面中的积分

14.2.1 定积分和不定积分

14.2.2 柯西积分定理

14.2.3 柯西积分公式

14.3 解析函数的幂级数展开

14.3.1 复项级数的收敛性

14.3.2 泰勒级数

14.3.3 解析延拓原理

14.3.4 洛朗展开式

14.3.5 孤立奇点和留数定理

14.4 用复积分计算实积分

14.4.1 柯西积分定理的应用

14.4.2 留数定理的应用

14.4.3 若尔当引理的应用

14.5 代数函数和初等超越函数

14.5.1 代数函数

14.5.2 初等超越函数

14.5.3 曲线用复形式的描述

14.6 椭圆函数

14.6.1 与椭圆积分的关系

14.6.2 雅可比函数

14.6.3 theta函数

14.6.4 魏尔斯特拉斯函数

第15章积分变换

15.1 积分变换的概念

15.1.1 积分变换的一般定义

15.1.2 特殊的积分变换

15.1.3 逆变换

15.1.4 积分变换的线性性质

15.1.5 多变量函数的积分变换

15.1.6 积分变换的应用

15.2 拉普拉斯变换

15.2.1 拉普拉斯变换的性质

15.2.2 到原始空间的逆变换

15.2.3 使用拉普拉斯变换求解微分方程

15.3 傅里叶变换

15.3.1 傅里叶变换的性质

15.3.2 使用傅里叶变换求解微分方程

15.4 Z变换

15.4.1 Z变换的性质

15.4.2 Z变换的应用

15.5 小波变换

15.5.1 信号

15.5.2 小波

15.5.3 小波变换

15.5.4 离散小波变换

15.5.5 加博变换

15.6 沃尔什函数

15.6.1 阶梯函数

15.6.2 沃尔什函数系

第16章概率论与数理统计

16.0 概率论与数理统计

16.1 组合学

16.1.1 全排列

16.1.2 组合

16.1.3 排列

16.1.4 组合学公式集锦(表16.1)

16.2 概率论

16.2.1 事件、频率和概率

16.2.2 随机变量、分布函数

16.2.3 离散分布

16.2.4 连续分布

16.2.5 大数定律、极限定理

16.2.6 随机过程和随机链

16.3 数理统计学

16.3.1 统计量函数或样本函数

16.3.2 描述性统计学

16.3.3 重要检验

16.3.4 相关和回归

16.3.5 蒙特卡罗方法

16.4 误差验算

16.4.1 测量误差及其分布

16.4.2 误差传播和误差分析

第17章动力系统与混沌

17.1 常微分方程与映射

17.1.1 动力系统

17.1.2 常微分方程的定性理论

17.1.3 离散动力系统

17.1.4 结构稳定性

17.2 吸引子的量化描述

17.2.1 吸引子上的概率测度

17.2.2 熵

17.2.3 李雅普诺夫指数

17.2.4 维数

17.2.5 奇异吸引子与混沌

17.2.6 一维映射的混沌

17.2.7 由时间序列重新构造的动力系统

17.3 分岔理论和通往混沌之路

17.3.1 莫尔斯斯梅尔系统中的分岔

17.3.2 过渡到混沌

第18章优化

18.1 线性规划

18.1.1 问题的提法和几何表达

18.1.2 线性规划基本概念、规范形

18.1.3 单纯形法

18.1.4 特殊线性规划问题

18.2 非线性优化问题

18.2.1 问题的提法、理论基础

18.2.2 特殊非线性优化问题

18.2.3 二次优化问题的解法

18.2.4 数值搜索程序

18.2.5 无约束问题的解法

18.2.6 演化策略

18.2.7 不等式类型约束下问题的梯度法

18.2.8 罚函数法和障碍函数法

18.2.9 割平面法

18.3 离散动态规划

18.3.1 离散动态决策模型

18.3.2 离散决策模型的例子

18.3.3 贝尔曼泛函方程

18.3.4 贝尔曼最优性原理

18.3.5 贝尔曼泛函方程方法

18.3.6 泛函方程方法的应用例子

第19章数值分析

19.0 数值分析

19.1 数值求解单变量非线性方程

19.1.1 迭代法

19.1.2 多项式方程的解

19.2 方程组的数值解

19.2.1 线性方程组

19.2.2 非线性方程组

19.3 数值积分

19.3.1 一般求积公式

19.3.2 插值求积

19.3.3 高斯求积公式

19.3.4 龙贝格方法

19.4 常微分方程的近似积分

19.4.1 初值问题

19.4.2 边值问题

19.5 偏微分方程的近似求解

19.5.1 差分法

19.5.2 用已知函数逼近

19.5.3 有限元方法(FEM)

19.6 插值、调整计算、调和分析

19.6.1 多项式插值

19.6.2 平均逼近

19.6.3 切比雪夫逼近

19.6.4 调和分析

19.7 曲线和曲面用样条表示

19.7.1 三次样条

19.7.2 双三次样条

19.7.3 曲线和曲面的伯恩斯坦贝济埃表示

19.8 使用计算机

19.8.1 内符号表示

19.8.2 计算机计算中的数值问题

19.8.3 数值方法图书馆

19.8.4 交互程序系统和计算机代数系统的应用

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2.19.1 算图

算图是描述三个或更多个变量间的函数对应关系的图示. 由算图, 可以直接看出已知公式 (关键公式) 在定义域中各变量所对应的值. 最常见的算图是网络算图和贯线算图.

即使在计算机时代, 实验室还常常使用网络算图, 如用它们计算近似值或进行迭代时的初始推断.

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