1.1.4 幂、根与对数

1.1.4.1 幂

记号 $a^x$ 用来表示代数运算乘方. 数 $a$ 称为底(或底数), $x$ 称为指数或幂数, $a^x$ 称为幂. 幂的定义见表 1.1 .

底 $a$	指数 $x$	幂 $a^x$
任意 $\ne 0$ 的实数	0	1
	$n=1,2,3,\cdots$	$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots \cdot a}(a$ 的 $n$ 次幂)
	$n=-1,-2,-3,\cdots$	$a^n=\frac{1}{a^{-n}}$
正实数		有理数: $\frac{p}{q}\left(p,q\text{为整数,}q>0\right)a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}(a$ 的 $p$ 次幂的 $q$ 次根)
	无理数: $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{p_k}{q_k}$	$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^{\frac{p_k}{q_k}}$
0	正数	0

计算法则

$$\begin{array}{}\text{(1.12)}& a^x{a}^y=a^{x+y},a^x:a^y=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.13)}& a^x{b}^x={\left(ab\right)}^x,a^x:b^x=\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.14)}& {\left(a^x\right)}^y={\left(a^y\right)}^x=a^{xy}.\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.15)}& a^x={\mathrm{e}}^{x\ln a}\left(a>0\right).\end{array}$$

这里 $\ln a$ 是自然对数, $\mathrm{e}=2.718281828459\cdots$ 是底. 特殊的幂有

$$\begin{array}{}\text{(1.16a)}& {(-1)}^n=\{\begin{array}{ll}+1,& n\text{ 为偶数,}\\ -1,& n\text{ 为奇数. }\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.16b)}& a^0=1,a\ne 0.\end{array}$$

1.1.4.2 根

根据表 1.1,一个正数 $a$ 的 $n$ 次根是记为

$$\begin{array}{}\text{(1.17a)}& \sqrt[n]{a}\left(a>0\text{,实数;}n>0\text{,整数}\right)\end{array}$$

的正数. 这种运算称为取方根或开方, $a$ 是被开方数, $n$ 是根次或指数.

方程 $x^n=a$ ( $a$ 为实数或复数; $n>0$ ,整数)(1.17b)

的解通常记为 $x=\sqrt[n]{a}$ . 然而不应混淆的是: 相关的记号表示了方程所有的解,也就是说,表示了 $n$ 个不同的被计算值 $x_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ . 在负数和复数的情形下,方程的解由 (1.142b) 决定 (参见第 48 页 1.5.3.6).

$◼\mathbf{A}$: 方程 $x^2=4$ 有两个实根,即 $x_{1,2}=\pm 2$ .

$◼\mathbf{B}$: 方程 $x^2=-8$ 在复数范围内有三个根: $x_1=1+\mathrm{i}\sqrt{3},x_2=-2$ 和 $x_3=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$ , 但只有一个是实数.

1.1.4.3 对数

1. 定义

一个正数 $x>0$ 的以 $b>0\left(b\ne 1\right)$ 为底的对数 $u$ ,是以 $b$ 为底、 $x$ 为其值的幂的指数,记为 ${\log }_{b}x=u$ ,因此方程

$$\begin{array}{}\text{(1.18a)}& b^u=x\end{array}$$

产生

$$\begin{array}{}\text{(1.18b)}& {\log }_{b}x=u,\end{array}$$

反之, 后者产生前者. 特别有

$$\begin{array}{}\text{(1.18c)}& {\log }_{b}1=0,{\log }_{b}b=1,{\log }_{b}0=\{\begin{array}{ll}-\mathrm{\infty },& b>1,\\ +\mathrm{\infty },& b<1.\end{array}\end{array}$$

负数的对数只能在复数范围内定义. 关于对数函数参见第 93 页 2.6.2.

取一个给定数的对数是指求它的对数. 取一个表达式的对数是指进行类似 (1.19a), (1.19b) 的变换. 由其对数来确定一个数或表达式的运算就称为乘方.

2. 对数的性质

a) 每个正数都有一个以除 1 外任何正数为底的对数.

b) 设 $x>0,y>0$ ,以下运算法则对任意允许为底的 $b$ 成立:

$$\begin{array}{}\text{(1.19a)}& \log \left(xy\right)=\log x+\log y,\log \frac{x}{y}=\log x-\log y,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(1.19b)}& \log x^n=n\log x\text{,特别地,有}\log \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\log x\text{,}\end{array}$$

利用 (1.19a), (1.19b), 乘积和分数的对数可以化归为对数的和或差的计算. - 取表达式 $\frac{3x^2\sqrt[3]{y}}{2z{u}^3}$ 的对数:

$$\log \frac{3x^2\sqrt[3]{y}}{2z{u}^3}=\log \left(3x^2\sqrt[3]{y}\right)-\log \left(2z{u}^3\right)$$$$=\log 3+2\log x+\frac{1}{3}\log y-\log 2-\log z-3\log u.$$

常常会要求进行逆运算, 即将包含有不同量的对数的表达式重写成一个表达式的对数.

$log3+2\log x+\frac{1}{3}\log y-\log 2-\log z-3\log u=\log \frac{3x^2\sqrt[3]{y}}{2z{u}^3}.$

c) 不同底的对数是成比例的,即以 $a$ 为底的对数可以通过乘法变换为以 $b$ 为底的对数:

$$\begin{array}{}\text{(1.20)}& {\log }_{a}x=M{\log }_{b}x,\text{ 此处 }M={\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}.\end{array}$$

$M$ 称为变换的模(modulus of transformation).

1.1.4.4 特殊对数

(1) 以 10 为底的对数称为十进对数或布里格斯对数, 有如下记号与公式:

$$\begin{array}{}\text{(1.21)}& {\log }_{10}x=\lg x\text{ 和 }\log \left(x{10}^{\alpha }\right)=\alpha +\log x.\end{array}$$

(2)以 $\mathrm{e}$ 为底的对数称为自然对数或纳皮尔对数,记为

$$\begin{array}{}\text{(1.22)}& {\log }_{\mathrm{e}}x=\ln x\text{.}\end{array}$$

由自然对数变换为十进对数的模是

$$\begin{array}{}\text{(1.23)}& M=\log \mathrm{e}=\frac{1}{\ln 10}=0.4342944819.\end{array}$$

由十进对数变换为自然对数的模是

$$\begin{array}{}\text{(1.24)}& M_1=\frac{1}{M}=\ln 10=2.3025850930.\end{array}$$

(3)以 2 为底的对数称为二进对数, 记为

$$\begin{array}{}\text{(1.25)}& {\log }_{2}x=\mathrm{ld}x\text{ 或 }{\log }_{2}x=\mathrm{lb}x.\end{array}$$

(4) 十进对数和自然对数的数值可以通过对数表来查找. 以前, 对数曾被用来进行繁重的数值计算, 它可以使乘法和除法变得更容易. 最常用的是十进对数. 如今在袖珍计算器和个人计算机上都可以进行这方面的计算.

每个十进制的数 (从而每个实数) 在此被称为反对数(antilog), 可以通过提取 10 的适当次幂因子 $({10}^k,k$ 为整数) 将其写成如下形式:

$$\begin{array}{}\text{(1.26a)}& x=\hat{x}{10}^k,1\le \hat{x}\le 10\end{array}$$

称此形式为半对数表示(half-logarithmic representation). 其中 $\hat{x}$ 由 $x$ 的数字序列给出,而 ${10}^k$ 则是 $x$ 的量阶. 这样其对数就可表示为

$$\begin{array}{}\text{(1.26b)}& \log x=k+\log \hat{x},0\le \log \hat{x}<1\text{,也就是说}\log \hat{x}=0,\cdots \text{.}\end{array}$$

这里 $k$ 称为首数, $\log \hat{x}$ 小数点之后的数字序列称为尾数. 尾数可以在对数表中查到.

§ $\lg 324=2.5105$ ,首数为 2,尾数为 5105. 用 ${10}^n$ 去乘或除这个数,例如得到 32400, 3240, 3.24, 0.0324, 它们的对数尾数相同, 都是 5105, 但有不同的首数. 这就是为什么在对数表中要给出尾数的缘故. 为了确定一个数 $x$ 的首数,首先要将小数点向左或向右移动以得到一个介于 1 和 10 之间的数,反对数 $x$ 的首数就是小数点移动的位数.

(5) 计算尺. 除了对数, 计算尺对数值计算也很有用. 计算尺的工作原理是基于公式 (1.19a), 这样乘法和除法就被转化成加法和减法. 计算尺上的刻度是根据对数值来标定的, 因此乘法和除法就可以通过加法和减法来施行 (参见第 149 页 2.17“标度与坐标纸”).