12.4.1 希尔伯特空间概念

12.4.1.1 标量积

域 $\mathbb{F}\left(\text{大多是}\mathbb{F}=\mathbb{C}\right)$ 上的向量空间 $V$ 称作标量积空间,或内积空间或准希尔伯特空间,是指对于每一对元 $x,y\in V$ ,指定一数 $\left(x,y\right)\in \mathbb{F}$ ( $x$ 和 $y$ 的标量积),使得满足标量积公理,即对于任意 $x,y,z\in V$ 和 $\alpha \in \mathbb{F}$ ,有

(H1) $\left(x,x\right)\ge 0$ (即(x, x)是实数),并且 $\left(x,x\right)=0$ 当且仅当 $x=0,(12.10$ ;

(H2) $\left(\alpha x,y\right)=\alpha \left(x,y\right)$ ,(12.104)

(H3) $\left(x+y,z\right)=\left(x,z\right)+\left(y,z\right)$ ,(12.105)

(H4) $\left(x,y\right)=\overline{(y,x)}$ .(12.106)

(这里 $\overline{\omega }$ 表示复数 $\omega$ 的共轭,它在 (12.133c) 中记作 ${\omega }^{\ast }$ . 有时标量积也记作 $⟨x,y⟩$ . )

在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 的情形,(H4) 意味着标量积的可交换性. 从而由公理可得到进一步的性质:

$$\begin{array}{}\text{(12.107)}& \left(x,\alpha y\right)=\overline{\alpha }\left(x,y\right)\text{ 和 }\left(x,y+z\right)=\left(x,y\right)+\left(x,z\right).\end{array}$$

12.4.1.2 酉空间及其某些性质

在一个准希尔伯特空间 $\mathbb{H}$ 中,可以按照如下方式引入范数:

$$\begin{array}{}\text{(12.108)}& \parallel x\parallel =\sqrt{(x,x)}\left(x\in \mathbb{H}\right).\end{array}$$

赋范空间 $H=\left(H,\parallel \cdot \parallel \right)$ 称作酉空间,是指存在一个满足 (12.108) 的标量积. 基于标量积的前述性质和酉空间中关系 (12.108), 我们有:

a) 三角形不等式

$$\begin{array}{}\text{(12.109)}& \parallel x+y\parallel \le \parallel x\parallel +\parallel y\parallel .\end{array}$$

b) 柯西-施瓦茨不等式或施瓦茨-布尼雅可夫斯基不等式(亦见第 38 页 1.4.2.9)

$$\begin{array}{}\text{(12.110)}& \left|\left(x,y\right)\right|\le \sqrt{(x,x)}\sqrt{(y,y)}.\end{array}$$

c) 平行四边形等式 这刻画了赋范空间中酉空间的特征:

$$\begin{array}{}\text{(12.111)}& \parallel x+y{\parallel }^2+\parallel x-y{\parallel }^2=2\left(\parallel x{\parallel }^2+\parallel y{\parallel }^2\right).\end{array}$$

d) 标量积的连续性

$$\begin{array}{}\text{(12.112)}& x_n\to x,y_n\to y\text{ 蕴涵 }\left(x_n,y_n\right)\to \left(x,y\right).\end{array}$$

12.4.1.3 希尔伯特空间

完备的酉空间称作希尔伯特空间. 由于希尔伯特空间也是巴拿赫空间, 故希尔伯特空间也具有巴拿赫空间的性质 (参见第 874 页 12.3.1; 第 875 页 12.3.1.2, 12.3.2). 此外, 希尔伯特空间也具有酉空间的性质 (参见第 879 页 12.4.1.2). 希尔伯特空间的子空间是一个闭子空间.

$◼\mathbf{A}$: ${\ell }^2\left(n\right),{\ell }^2,L^2\left(\left(a,b\right)\right)$ ,标量积分别为

$$\begin{array}{}\text{(12.113)}& \left(x,y\right)=\sum _{k=1}^n{\xi }_k\overline{{\eta }_k},\left(x,y\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_k\overline{{\eta }_k}\text{ 和 }\left(x,y\right)={\int }_a^{b}x\left(t\right)\overline{y\left(t\right)}\mathrm{d}t.\end{array}$$

$◼\mathbf{B}$: 空间 $H^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$ ,标量积为

$$\begin{array}{}\text{(12.114)}& \left(f,g\right)={\int }_{\overline{\mathrm{\Omega }}}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}\mathrm{d}x+\sum _{1\le \left|\alpha \right|\le k}{\int }_{\overline{\mathrm{\Omega }}}{D}^{\alpha }f\left(x\right)\overline{D^{\alpha }g\left(x\right)}\mathrm{d}x.\end{array}$$

$◼\mathbf{C}$: 设 $\phi \left(t\right)$ 是 $\left[a,b\right]$ 上正可测函数. 所有相对于权函数 $\phi$ 在 $\left[a,b\right]$ 上二次可积的复可测函数空间 $L^2\left(\left(a,b\right),\phi \right)$ 是一个希尔伯特空间,其中标量积定义为

$$\begin{array}{}\text{(12.115)}& \left(x,y\right)={\int }_a^{b}x\left(t\right)\overline{y\left(t\right)}\phi \left(t\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$