12.8.2 非线性算子的可微性

设 $X,Y$ 是巴拿赫空间, $D\subset X$ 是一开子集,并且 $T:D\to Y$ . 算子 $T$ 称作在点 $x\in D$ 弗雷歇可微的(或简称可微),是指存在线性算子 $L\in B\left(X,Y\right)$ (一般说来,依赖于点 $x$ ),使得

$$\begin{array}{}\text{(12.196)}& T\left(x+h\right)-T\left(x\right)=Lh+\omega \left(h\right),\text{ 其中 }\parallel \omega \left(h\right)\parallel =o\left(\parallel h\parallel \right),\end{array}$$

或以等价的形式表示为

$$\begin{array}{}\text{(12.197)}& \underset{\parallel h\parallel \to 0}{lim}\frac{\parallel T\left(x+h\right)-T\left(x\right)-Lh\parallel }{\parallel h\parallel }=0,\end{array}$$

即 $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$ 使得 $\parallel h\parallel \le \delta$ 蕴涵着 $\parallel T\left(x+h\right)-T\left(x\right)-Lh\parallel \le \epsilon \parallel h\parallel$ . 算子 $L$ 通常记作 $T^{\prime }\left(x\right),T\left(x,\cdot \right)$ ,或 $T^{\prime }\left(x\right)(\cdot )$ ,称作算子 $T$ 在点 $x$ 的弗雷歇导数. 值 $\mathrm{d}T\left(x;h\right)=T^{\prime }\left(x\right)h$ 称作算子 $T$ 在点 $x$ (关于增量 $h$ ) 的弗雷歇微分.

算子在一点处的可微性蕴涵着其在该点的连续性. 如果 $T\in B\left(X,Y\right)$ ,即其本身是线性连续的,则 $T$ 在每一点可微,并且其导数等于 $T$ .