16.1.2 组合

1. 定义

组合是从 $n$ 个不同元素中任取 $k$ 个元素,不管其顺序的取法,也称为 $k$ 阶组合, 我们将它分为有重复组合与无重复组合.

2. 无重复组合数

从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个,不考虑所取元素的顺序,若每个元素最多可取出 1 次,则其可能的不同取法 ${\mathrm{C}}_n^{\left(k\right)}$ 是

$$\begin{array}{}\text{(16.4)}& {\mathrm{C}}_n^{\left(k\right)}=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\text{,其中}0\le k\le n\text{(参见第 15 页 1.1.6.4,3.).}\end{array}$$

它称为无重复组合.

• 从 30 位参会者中挑出 4 位组成选举委员会,共有 $\left(\begin{array}{c}30\\ 4\end{array}\right)=27405$ 种可能的取法.

3. 有重复组合数

从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个,每个元素可重复选取,且不考虑元素间的顺序, 则可能的取法是

$$\begin{array}{}\text{(16.5)}& {\mathrm{C}}_n^{\left(k\right)}=\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right).\end{array}$$

换言之,即考虑从 $n$ 个不同元素中任取 $k$ 个元素的不同取法,其中每个元素可重复选取.

• 掷 $k$ 颗骰子,可能的不同结果是 ${\mathrm{C}}_6^{\left(k\right)}=\left(\begin{array}{c}k+6-1\\ k\end{array}\right)$ . 故掷 2 颗骰子,有 ${\mathrm{C}}_6^{\left(2\right)}=\left(\begin{array}{l}7\\ 2\end{array}\right)=21$ 种不同结果.