2.9.2 双曲函数的图示

2.9.2.1 双曲正弦

$y=\sinh x\left(2.166\right)$ 是严格单调递增的奇函数,值域为 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }\left(\mathrm{图}2.49\right)$ . 原点既为对称中心,又为拐点,且此处切线的倾斜角 $\phi =\frac{\pi }{4}$ ,无渐近线.

2.9.2.2 双曲余弦

$y=\cosh x\left(2.167\right)$ 为偶函数,若 $x<0$ ,函数值从 $+\mathrm{\infty }$ 到 1 严格单调递减,若 $x>0$ ,函数值从 1 到 $+\mathrm{\infty }$ 严格单调递增 (图 2.50),当 $x=0$ 时,取最小值 1 (点 $A\left(0,1\right)$ )；无渐近线. 曲线关于 $y$ 轴对称,且恒位于二次抛物曲线 $y=1+\frac{x^2}{2}$ (虚线) 的上方. 因为函数表现为一条悬链曲线, 因此该曲线也称为悬链线(参见第 139 页 2.15.1).

2.9.2.3 双曲正切

$y=\tanh x\left(2.168\right)$ 为奇函数,在 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }$ 上,函数从 -1 到 1 严格单调递增 (图 2.51). 原点既为对称中心,又为拐点,且此处切线的倾斜角 $\phi =\frac{\pi }{4}$ ,渐近线为 $y=\pm 1$ .

2.9.2.4 双曲余切

$y=\coth x\left(2.169\right)$ 为奇函数,在 $x=0$ 处不连续 (图 2.52). 当 $-\mathrm{\infty }<x<0$ 时, 函数从 -1 到 $-\mathrm{\infty }$ 严格单调递减; 当 $0<x<+\mathrm{\infty }$ 时, 函数从 $+\mathrm{\infty }$ 到 1 严格单调递减. 函数无拐点和极值,渐近线为 $x=0$ 和 $y=\pm 1$ .