12.1.3 线性无关元

1. 线性无关性

向量空间 $V$ 的一有穷子集 $\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 称作线性无关的,是指

$$\begin{array}{}\text{(12.15)}& {\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n=0\text{蕴涵}{\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0\text{.}\end{array}$$

否则,该子集称作线性相关的. 如果 ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$ ,那么对于 $V$ 中的任意向量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ,向量 ${\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n$ 显然是 $V$ 的零元. 向量 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 的线性无关性意味着,为了得到零元 $0={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_n{x}_n$ , 必须所有系数全等于零: ${\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$ . 这一重要的概念在线性代数中是熟知的 (参见第 490 页 5.3.8.2), 并且被用于线性齐次微分方程的基本解组 (参见第 732 页 9.1.2.3,2.). 一个无穷子集 $E\subset V$ 称作是线性无关的,是指 $E$ 的每个有穷子集都是线性无关的. 否则, $E$ 称作是线性相关的.

$◼$ 如果第 $k$ 个分量等于 1,而其余分量皆为零的序列记作 $e_k$ ,那么 $e_k$ 属于空间 $\phi$ , 从而也属于任意一个序列空间. 集合 $\left\{e_1,e_2,\cdots \right\}$ 在任意序列空间中都是线性无关的. 在空间 $\mathcal{C}\left(\left[0,\pi \right]\right)$ 中,例如函数组

$$1,\sin nt,\cos nt\left(n=1,2,3,\cdots \right)$$

是线性无关的,而函数 $1,\cos 2t,{\cos }^{2}t$ 则是线性相关的 (参见第 104 页 (2.97)).

2. 向量空间的基和维数

向量空间 $V$ 的一线性无关子集 $B$ 称作 $V$ 的一个代数基或哈梅尔基,是指它生成整个空间 $V$ ,即 $\mathrm{lin}\left(B\right)=V$ (参见第 490 页 5.3.8.2). $B=\left\{x_{\xi }\mid \xi \in \mathrm{\Xi }\right\}$ 是 $V$ 的一基,当且仅当每一向量 $x\in V$ 可以写成形式 $x=\sum _{\xi \in \mathrm{\Xi }}{\alpha }_{\xi }{x}_{\xi }$ ,其中系数 ${\alpha }_{\xi }$ 由 $x$ 唯一确定而且其中仅有穷多个 (依赖于 $x$ ) 不等于零. 每一个非平凡的向量空间 $V$ ,即 $V\ne \{0\}$ ,至少有一个代数基,并且对于 $V$ 的每一个线性无关子集 $E,V$ 至少有一个包含该子集的基.

向量空间 $V$ 称作 $m$ 维的,是指它有一个由 $m$ 个向量组成的基,也就是说,存在 $V$ 的 $m$ 个线性无关的向量,并且其中任意 $m+1$ 个向量都是线性相关的.

空间 ${\mathbb{F}}^n$ 是 $n$ 维空间,在例 $\mathbf{B}\sim \mathbf{E}$ 中所有其他的空间都是无穷维的. 空间 $\mathrm{lin}\left(\left\{1,t,t^2\right\}\right)$ 是三维的.

在有穷维情形, 同一向量空间的任意两个基都有相同的元数目. 而无穷维向量空间中,任意两个基都有相同的基数,记作 $\dim \left(V\right)$ . 维数是向量空间的一个不变量, 它不依赖于特定代数基的选择.