5.7.3 有限布尔代数

所有有限布尔代数容易刻画到 “同构” 情形. 设 $B_1,B_2$ 是两个布尔代数,并且 $f:B_1\to B_2$ 是双射. $f$ 称为同构,如果有

$$\begin{array}{}\text{(5.303)}& f\left(a\sqcap b\right)=f\left(a\right)\sqcap f\left(b\right),f\left(a\bigsqcup b\right)=f\left(a\right)\bigsqcup f\left(b\right)\text{ 和 }f\left(\overline{a}\right)=\overline{f\left(a\right)}.\end{array}$$

每个有限布尔代数同构于一个有限集的幂集的布尔代数. 特别地, 每个有限布尔代数有 $2^n$ 个元素,并且每两个元素个数相同的有限布尔代数是同构的.

今后用 $B$ 表示有两个元素 $\{0,1\}$ 并且有下列运算的布尔代数:

在 $n$ 重笛卡儿积 $B^n=\{0,1\}\times \cdots \times \{0,1\}$ 上按分量定义运算 $\sqcap ,\bigsqcup$ ,以及 ${}^{-}$ ,那么 $B^n$ 是一个元素为 $0=\left(0,\cdots ,0\right)$ 和 $1=\left(1,\cdots ,1\right)$ 的布尔代数. $B^n$ 称为 $B$ 的 $n$ 重直接积. 因为 $B^n$ 含有 $2^n$ 个元素,所以这样我们得到所有有限布尔代数 (不计同构者).