14.3.2 泰勒级数

在一个区域 $G$ 中每个解析函数 $f\left(z\right)$ 对于任意 $z_0\in G$ 都可以被唯一地展开为

形如

$$\begin{array}{}\text{(14.48a)}& f\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{(z-z_0)}^n\text{ (泰勒级数) }\end{array}$$

的幂级数,其收敛圆是以 $z_0$ 为心的完全属于区域 $G$ 的最大的圆 (图 14.41). 一般而言, $a_n$ 是复数; 它们由下式得到

$$\begin{array}{}\text{(14.48b)}& a_n=\frac{f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)}{n!}.\end{array}$$

这样, 泰勒级数就可以被写为

$$f\left(z\right)=f\left(z_0\right)+\frac{f^{\prime }\left(z_0\right)}{1!}\left(z-z_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(z_0\right)}{2!}{(z-z_0)}^2+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)}{n!}{(z-z_0)}^n+\cdots .$$

(14.48c)每个幂级数在其收敛圆内部是其和函数的泰勒展式. 第 990 页 14.5.2 中函数 ${\mathrm{e}}^z,\sin z,\cos z,\sinh z,\cosh z$ 的级数表达式是泰勒展式的例子.