4.3.3 特殊性质的张量

4.3.3.1 秩 2 张量

1. 计算法则

矩阵计算法则对于秩 2 张量同样成立. 特别,每个张量 $T$ 可以分解为对称和斜对称张量之和:

$$\begin{array}{}\text{(4.77a)}& \mathbf{T}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{T}+{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{T}-{\mathbf{T}}^{\mathrm{T}}\right).\end{array}$$

如果

$$\begin{array}{}\text{(4.77b)}& t_{ij}=t_{ji}\text{ (对所有 }i,j\text{ ),}\end{array}$$

那么张量 $\mathbf{T}=\left(t_{ij}\right)$ 称为对称的. 在

$$\begin{array}{}\text{(4.77c)}& t_{ij}=-t_{ji}\left(\text{ 对所有 }i,j\right)\end{array}$$

情形下,称它为斜对称或反对称的. 显然,斜对称张量的元素 $t_{11},t_{22},t_{33}$ 等于零. 若认定某对元素, 则可将对称性和反对称性的概念扩充到更高秩张量.

2. 主轴变换

对于对称张量 $\mathbf{T}$ ,即当 $t_{\mu \nu }=t_{\nu \mu }$ 成立时,总存在正交变换 $\mathbf{D}$ 使得变换后张量

有对角形:

$$\begin{array}{}\text{(4.78a)}& \tilde{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{ccc}{\tilde{t}}_{11}& 0& 0\\ 0& {\tilde{t}}_{22}& 0\\ 0& 0& {\tilde{t}}_{33}\end{array}\right).\end{array}$$

元素 ${\tilde{t}}_{11},{\tilde{t}}_{22},{\tilde{t}}_{33}$ 称作张量 $\mathbf{T}$ 的特征值. 它们等于 $\lambda$ 的 3 次代数方程

$$\begin{array}{}\text{(4.78b)}& \left|\begin{array}{ccc}{t}_{11}-\lambda & t_{12}& t_{13}\\ t_{21}& t_{22}-\lambda & t_{23}\\ t_{31}& t_{32}& t_{33}-\lambda \end{array}\right|=0\end{array}$$

的根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 和 ${\lambda }_3$ . 变换矩阵 $\mathbf{D}$ 的列向量 ${\underset{―}{\mathbf{d}}}_1,{\underset{―}{\mathbf{d}}}_2,{\underset{―}{\mathbf{d}}}_3$ 称作对应于这些特征值的特征向量, 它们满足方程

$$\begin{array}{}\text{(4.78c)}& \mathbf{T}{\underset{―}{\mathbf{d}}}_{\nu }={\lambda }_{\nu }{\underset{―}{\mathbf{d}}}_{\nu }\left(\nu =1,2,3\right).\end{array}$$

它们的方向称为主轴方向,化对角形的变换 $T$ 称为主轴变换.

4.3.3.2 不变张量

1. 定义

一个笛卡儿张量称为不变的, 如果它的分量在所有笛卡儿坐标系中都相同. 物理量如标量和向量是特殊的张量, 不依赖于确定它们的坐标系. 因此在平移原点或坐标系 $K$ 旋转时它们的值不应该改变. 我们称此为平移不变性和旋转不变性,或一般地, 称此为变换不变性.

2. 广义克罗内克 $\delta$ 函数和 $\delta$ 张量

如果一个秩 2 张量的元素 $t_{ij}$ 是克罗内克符号,即

$$\begin{array}{}\text{(4.79a)}& t_{ij}={\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}\end{array}$$

那么由坐标系旋转情形的变换律 (4.71b), 并考虑 (4.68c), 可得到

$$\begin{array}{}\text{(4.79b)}& {\tilde{t}}_{\mu \nu }=d_{\mu i}{d}_{\nu j}={\delta }_{\mu \nu },\end{array}$$

即这些元素是旋转不变量. 将它们放在坐标系中, 则它们与原点的选取无关, 即它们是平移不变量,于是数 ${\delta }_{ij}$ 形成秩 2 张量,即所谓广义克罗内克 $\delta$ 或 $\delta$ 张量.

3. 交错张量

如果 ${\overrightarrow{e}}_i,{\overrightarrow{e}}_j$ 和 ${\overrightarrow{e}}_k$ 是直角坐标系的轴向单位向量,那么对于混合积 (参见第 249 页 3.5.1.6, 2.) 有

$$\begin{array}{}\text{(4.80a)}& {ϵ}_{ijk}={\overrightarrow{e}}_i\left({\overrightarrow{e}}_j\times {\overrightarrow{e}}_k\right)=\{\begin{array}{ll}1,& i,j,k\text{ 循环 (右手法则),}\\ -1,& i,j,k\text{ 反循环,}\\ 0,& \text{ 其他情形. }\end{array}\end{array}$$

在此共有 $3^3=27$ 个元素,它们是一个秩 3 张量的元素. 在坐标系旋转的情形下,由变换律 (4.69) 可知

$$\begin{array}{}\text{(4.80b)}& {\tilde{t}}_{\mu \nu \rho }=d_{\mu i}{d}_{\nu j}{d}_{\rho k}{ϵ}_{ijk}=\left|\begin{array}{lll}{d}_{\mu 1}& d_{\nu 1}& d_{\rho 1}\\ d_{\mu 2}& d_{\nu 2}& d_{\rho 2}\\ d_{\mu 3}& d_{\nu 3}& d_{\rho 3}\end{array}\right|={ϵ}_{\mu \nu \rho },\end{array}$$

即这些元素是旋转不变量. 将其放在坐标系中, 则其与原点的选取无关, 即它们是平移不变量,于是数 ${ϵ}_{ijk}$ 形成秩 3 张量,即所谓交错张量.

4. 张量不变量

在此不要将张量不变量与不变张量混淆. 张量不变量是张量的分量的函数, 当坐标系旋转时, 它们的形式和值不变.

$◼\mathbf{A}$ : 如果 (例如) 张量 $\mathbf{T}=\left(t_{ij}\right)$ 通过旋转被变换为 $\tilde{\mathbf{T}}=\left({\tilde{t}}_{ij}\right)$ ,那么它的迹不变:

$$\begin{array}{}\text{(4.81)}& \mathrm{Tr}\left(\mathbf{T}\right)=t_{11}+t_{22}+t_{33}={\tilde{t}}_{11}+{\tilde{t}}_{22}+{\tilde{t}}_{33}.\end{array}$$

张量 $\mathbf{T}$ 的迹等于特征值的和 (参见第 362 页 4.1.2,4.).

$◼\mathbf{B}$ : 对于张量 $\mathbf{T}=\left(t_{ij}\right)$ 的行列式有

$$\begin{array}{}\text{(4.82)}& \left|\begin{array}{lll}{t}_{11}& t_{12}& t_{13}\\ t_{21}& t_{22}& t_{23}\\ t_{31}& t_{32}& t_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}{\tilde{t}}_{11}& {\tilde{t}}_{12}& {\tilde{t}}_{13}\\ {\tilde{t}}_{21}& {\tilde{t}}_{22}& {\tilde{t}}_{23}\\ {\tilde{t}}_{31}& {\tilde{t}}_{32}& {\tilde{t}}_{33}\end{array}\right|.\end{array}$$

张量的行列式等于特征值的积.