4.2.3 行列式的计算

1. 2阶行列式的值

\begin{matrix} (4.64) & | \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} . \end{matrix}

2. 3阶行列式的值

萨吕(Sarrus)法则给出一个方便的计算方法, 但它只适用于 3 阶行列式. 法则如下:

| \begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | \cdot a_{21} \cdot a_{22} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32}

\begin{matrix} (4.65) & - (a_{31} a_{22} a_{13} + a_{32} a_{23} a_{11} + a_{33} a_{21} a_{12}) . \end{matrix}

将最初两列在行列式后重复写出, 然后计算沿右下方向实线段上的元素之积的和, 再减去沿左下方向虚线段上的元素之积的和.

3. $n$ 阶行列式的值

由展开法则, $n$ 阶行列式的值的计算归结为 $n$ 个 $n - 1$ 阶行列式的计算. 但出于实用的原因 (减少所需运算量), 我们首先借助上面讨论过的法则将行列式变形, 使得它含有尽可能多的零元素.

I | \begin{matrix} 2 & 9 & 9 & 4 \\ 2 & - 3 & 12 & 8 \\ 4 & 8 & 3 & - 5 \\ 1 & 2 & 6 & 4 \end{matrix} | (法则 4) | \begin{matrix} 2 & 5 & 9 & 4 \\ 2 & - 7 & 12 & 8 \\ 4 & 0 & 3 & - 5 \\ 1 & 0 & 6 & 4 \end{matrix} |

\overset{―}{(法则 6)} 3 | \begin{matrix} 2 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & - 7 & 4 & 8 \\ 4 & 0 & 1 & - 5 \\ 1 & 0 & 2 & 4 \end{matrix} | = 3 (- 5 \underset{= 0 (法则 3)}{\underset{⏟}{| \begin{matrix} 2 & 4 & 8 \\ 4 & 1 & - 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} |}} - 7 | \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & - 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} |)

\overset{―}{\overset{―}{(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \end{array})}} = 21 | \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & - 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix} | = - 21 (| \begin{matrix} 1 & - 5 \\ 2 & 4 \end{matrix} | - | \begin{matrix} 4 & - 5 \\ 1 & 4 \end{matrix} |) = 147 .

注一个特别有效的确定 $n$ 阶行列式的值的方法是,将为了确定矩阵的秩所作的变换 (参见第 367 页 4.1.4,7.) 同样地用于行列式,即使得对角线 $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{n n}$ 下方所有元素都等于零. 于是行列式的值就是变换后的行列式的对角元素之积.