2.15.2 曳物线

若曲线为曳物线 (图 2.79 中的粗线),则它满足对于曲线上一点 $P$ ,如果过点 $P$ 的切线与给定直线 (此处为 $x$ 轴) 的交点为 $M$ ,有 $\overline{PM}$ 为常数 $a$ . 将一条长为 $a$ 的不能伸展的绳子的一端系有质点 $P$ ,拽着绳子的另一端沿一直线 $\left(x\text{轴}\right)$ 移动,点 $P$ 的轨迹为曳物线. 曳物线方程为

$$x=a\mathrm{Arcosh}\frac{a}{y}\pm \sqrt{a^2-y^2}$$$$\begin{array}{}\text{(2.253)}& =a\ln \frac{a\pm \sqrt{a^2-y^2}}{y}\mp \sqrt{a^2-y^2}\left(a>0,0<y\le a\right).\end{array}$$

$x$ 轴为渐近线,点 $A\left(0,a\right)$ 为尖点,且曲线关于 $y$ 轴对称. $\stackrel{⏜}{AP}$ 的弧长 $L=a\ln \frac{a}{y}$ , 当弧长 $L$ 增加时, $L-x$ 趋于 $a\left(1-\ln 2\right)\approx 0.307a$ ,其中 $x$ 为点 $P$ 的横坐标. 曲率半径 $r=a\cot \frac{x}{y}$ ,且曲率半径 $\overline{PC}$ 与线段 $\overline{PE}=b$ 成反比: $rb=a^2$ . 曳物线的渐屈线 (参见第 341 页 3.6.1.6,2.),即曲率圆的中心 $C$ 的轨迹曲线,是如图 2.79 中虚线所示的悬链线 (2.252).