11.1 引论和分类

1. 定义

一个积分方程是未知函数出现在积分号下的方程. 不存在解积分方程的通用方法. 解的方法, 甚至于解的存在性依赖于积分方程的特别的形式.

一个积分方程被称为是线性的(linear), 如果作用在未知函数上的是线性运算. 线性积分方程的一般形式 (general form) 为

$$\begin{array}{}\text{(11.1)}& g\left(x\right)\phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_{a\left(x\right)}^{b\left(x\right)}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,c\le x\le d.\end{array}$$

未知函数是 $\phi \left(x\right)$ ,函数 $K\left(x,y\right)$ 被称为积分方程的核 (kernel of the integral equation), $f\left(x\right)$ 是所谓的扰动函数(perturbation function). 这些函数也可以取复值. 积分方程是齐次的(homogeneous),如果函数 $f\left(x\right)$ 在所考虑的区间上恒为零,即 $f\left(x\right)\equiv 0$ ,否则它就是非齐次的(inhomogeneous). 通常, $\lambda$ 是一个复参数.

方程 (11.1) 的两种类型具有特别的重要性. 如果积分限与 $x$ 无关,即 $a\left(x\right)\equiv a$ , 且 $b\left(x\right)\equiv b$ ,则它被称为弗雷德霍姆积分方程(Fredholm integral equation),如 (11.2a), (11.2b).

$$\begin{array}{}\text{(11.2a)}& 0=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.2b)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

如果 $a\left(x\right)\equiv a$ ,且 $b\left(x\right)\equiv x$ ,则它被称为沃尔泰拉积分方程(Volterra integral equation), 如 (11.2c), (11.2d).

$$\begin{array}{}\text{(11.2c)}& 0=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.2d)}& \phi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda {\int }_a^{x}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

如果未知函数 $\phi \left(x\right)$ 只出现在积分号下,即有 $g\left(x\right)\equiv 0$ ,则称其为第一类(the first kind) 积分方程, 如 (11.2a),(11.2c). 积分方程被称为第二类(the second kind) 积分方程,如果像在 (11.2b) 和 (11.2d) 中那样, $g\left(x\right)\equiv 1$ .

2. 与微分方程的关系

物理学和力学中的问题相对罕见地直接导致积分方程. 这些问题主要地由微分方程来描述. 积分方程的重要性在于, 这些微分方程中的许多方程, 连同初值和边值, 可以变为积分方程.

$◼$ 对于 $x\ge x_0,y\left(x_0\right)=y_0$ 的始值问题 $y^{\prime }\left(x\right)=f\left(x,y\right)$ ,对其从 $x_0$ 到 $x$ 积分,就得到

$$\begin{array}{}\text{(11.3)}& y\left(x\right)=y_0+{\int }_{x_0}^{x}f\left(\xi ,y\left(\xi \right)\right)\mathrm{d}\xi .\end{array}$$

未知函数 $y\left(x\right)$ 出现在 (11.3) 的左端,也出现在积分号下. 积分方程 (11.3) 是线性的,如果函数 $f\left(\xi ,y\left(\xi \right)\right)$ 有形式 ${}^{1}f\left(\xi ,y\left(\xi \right)\right)=a\left(\xi \right)y\left(\xi \right)+b\left(\xi \right)$ ,即原始的微分方程也是线性的.

注 本章只处理第一类和第二类的弗雷德霍姆和沃尔泰拉积分方程, 也处理某些奇异积分方程.