14.5.1 代数函数

1. 定义

一个函数,它是对 $z$ ,也许还对有限多个常数施行有限多次代数运算的结果,被称为一个代数函数 (algebraic function). 一般地,一个复代数函数 $w\left(z\right)$ 可以用一个多项式隐含地定义, 就如在实的情形一样:

$$\begin{array}{}\text{(14.63)}& a_1{z}^{m_1}{w}^{n_1}+a_2{z}^{m_2}{w}^{n_2}+\cdots +a_k{z}^{m_k}{w}^{n_k}=0.\end{array}$$

$w$ 不能被显式地表示时有发生.

2. 代数函数的例子

线性函数: $w=az+b$ .(14.64)

反函数: $w=\frac{1}{z}$ .(14.65)

二次函数: $w=z^2$ .(14.66)

平方根函数: $w=\sqrt{z^2-a^2}$ .(14.67)

分式线性函数: $w=\frac{z+\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}$ .(14.68)