4.3.4 曲线坐标系中的张量

4.3.4.1 共变和反变基向量

1. 共变基

借助可变位置向量,我们引进一般的曲线坐标 $u, v, w$ :

\begin{matrix} (4.83a) & \vec{r} = \vec{r} (u, v, w) = x (u, v, w) {\vec{e}}_{x} + y (u, v, w) {\vec{e}}_{y} + z (u, v, w) {\vec{e}}_{z} . \end{matrix}

对应于这个系的坐标曲面可以通过在 $\vec{r} (u, v, w)$ 中每次固定一个独立变量得到. 在所考虑的空间区域的每个点都有三个坐标曲面通过, 并且它们中任何两个互相交于坐标曲线, 当然这些曲线也通过所考虑的点. 三个向量

\begin{matrix} (4.83b) & \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial w} \end{matrix}

指向所考虑的点的坐标曲线的方向. 它们形成曲线坐标系的共变基.

2. 反变基

三个向量

\begin{matrix} (4.84a) & \frac{1}{D} (\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial w}), \frac{1}{D} (\frac{\partial \vec{r}}{\partial w} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}), \frac{1}{D} (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}) \end{matrix}

有函数行列式 (雅可比行列式, 参见第 159 页 2.18.2.6, 3.)

\begin{matrix} (4.84b) & D = \frac{D (x, y, z)}{D (u, v, w)} = | \begin{matrix} x_{u} & x_{v} & x_{w} \\ y_{u} & y_{v} & y_{w} \\ z_{u} & z_{v} & z_{w} \end{matrix} |, \end{matrix}

它们总是垂直于所考虑的曲面单元的坐标曲面, 并且形成曲线坐标系的反变基.

注在正交曲线坐标情形, 即若

\frac{D (x, y, z)}{D (u, v, w)} = | \begin{array}{lll} t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} \end{array} | = | \begin{array}{lll} {\tilde{t}}_{11} & {\tilde{t}}_{12} & {\tilde{t}}_{13} \\ {\tilde{t}}_{21} & {\tilde{t}}_{22} & {\tilde{t}}_{23} \\ {\tilde{t}}_{31} & {\tilde{t}}_{32} & {\tilde{t}}_{33} \end{array} |,

\begin{matrix} (4.85) & \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = 0, \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial w} = 0, \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \cdot \frac{\partial \vec{r}}{\partial w} = 0, \end{matrix}

则共变基和反变基的方向是一致的.

4.3.4.2 秩 1 张量的共变和反变坐标

为了应用爱因斯坦求和约定, 我们对共变基和反变基引进下列记号:

\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = {\vec{g}}_{1}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = {\vec{g}}_{2}, \frac{\partial \vec{r}}{\partial w} = {\vec{g}}_{3}, \frac{1}{D} (\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial w}) = {\vec{g}}^{1},

\begin{matrix} (4.86) & \frac{1}{D} (\frac{\partial \vec{r}}{\partial w} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}) = {\vec{g}}^{2}, \frac{1}{D} (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}) = {\vec{g}}^{3} . \end{matrix}

那么下列表达式对 $\vec{v}$ 成立:

\begin{matrix} (4.87) & \vec{v} = V^{1} {\vec{g}}_{1} + V^{2} {\vec{g}}_{2} + V^{3} {\vec{g}}_{3} = V^{k} {\vec{g}}_{k} 或 \vec{v} = V_{1} {\vec{g}}_{1} + V_{2} {\vec{g}}_{2} + V_{3} {\vec{g}}_{3} . \end{matrix}

分量 $V^{k}$ 是向量 $\vec{v}$ 的反变坐标,分量 $V_{k}$ 是其共变坐标. 对于这些坐标,等式

\begin{matrix} (4.88a) & V^{k} = g^{k l} V_{l}, 以及 V_{k} = g_{k l} V^{l} \end{matrix}

成立, 其中分别有

\begin{matrix} (4.88b) & g_{k l} = g_{l k} = {\vec{g}}_{k} \cdot {\vec{g}}_{l},以及 g^{k l} = g^{l k} = {\vec{g}}^{k} \cdot {\vec{g}}^{l} . \end{matrix}

此外, 应用克罗内克符号, 等式

\begin{matrix} (4.89a) & {\vec{g}}_{k} \cdot {\vec{g}}^{l} = δ_{k l} \end{matrix}

成立, 因而

\begin{matrix} (4.89b) & g^{k l} g_{l m} = δ_{k m} . \end{matrix}

依照 (4.88b),由 $V^{k}$ 到 $V_{k}$ 或由 $V_{k}$ 到 $V^{k}$ 的转换,是由外加调整通过提升或下降指标刻画的.

注在笛卡儿坐标系中共变坐标和反变坐标相等.

4.3.4.3 秩 2 张量的共变、反变和混合坐标

1. 坐标变换

在基向量为 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 和 ${\vec{e}}_{3}$ 的笛卡儿坐标系中,秩 2 张量 $T$ 可表示为矩阵

\begin{matrix} (4.90) & T = (\begin{array}{lll} t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ t_{21} & t_{22} & t_{23} \\ t_{31} & t_{32} & t_{33} \end{array}) . \end{matrix}

为了引进曲线坐标 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ ,我们应用下列向量

\begin{matrix} (4.91) & \vec{r} = x_{1} (u_{1}, u_{2}, u_{3}) {\vec{e}}_{1} + x_{2} (u_{1}, u_{2}, u_{3}) {\vec{e}}_{2} + x_{3} (u_{1}, u_{2}, u_{3}) {\vec{e}}_{3} . \end{matrix}

新基可由向量 ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$ 表出. 现在有

\begin{matrix} (4.92) & {\vec{g}}_{l} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u_{l}} = \frac{\partial x_{1}}{\partial u_{l}} {\vec{e}}_{1} + \frac{\partial x_{2}}{\partial u_{l}} {\vec{e}}_{2} + \frac{\partial x_{3}}{\partial u_{l}} {\vec{e}}_{3} = \frac{\partial x_{k}}{\partial u_{l}} {\vec{e}}_{k} . \end{matrix}

作代换 ${\vec{e}}_{1} = {\vec{g}}^{1}$ ,可知 ${\vec{g}}_{1}$ 和 ${\vec{g}}^{1}$ 分别是共变基向量和反变基向量.

2. 线性向量函数

在一个由等式

\begin{matrix} (4.93a) & \vec{w} = T \vec{v} \end{matrix}

给出 (4.90) 中的张量 $T$ 的固定坐标系中,下列向量表达式

\begin{matrix} (4.93b) & \vec{v} = V_{k} {\vec{g}}^{k} = V^{k} {\vec{g}}_{k}, \vec{w} = W_{k} {\vec{g}}^{k} = W^{k} {\vec{g}}_{k} \end{matrix}

定义向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 间的线性关系. 所以 (4.93a) 被考虑为线性向量函数.

3. 混合坐标

改变坐标系, 等式 (4.93a) 将有形式

\begin{matrix} (4.94a) & \vec{\tilde{w}} = \tilde{T} \vec{\tilde{v}} \end{matrix}

$T$ 和 $\tilde{T}$ 的分量间的关系如下:

\begin{matrix} (4.94b) & {\tilde{t}}_{k l} = \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{m}} \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{l}} l_{m n} . \end{matrix}

引进记号

\begin{matrix} (4.94c) & {\tilde{t}}_{k l} = T_{\cdot l}^{k} . \end{matrix}

因为 $k$ 是反变指标, $l$ 是共变指标,所以我们将它称为张量的混合坐标. 对于向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{u}$ 的分量有

\begin{matrix} (4.94d) & W^{k} = T_{\cdot l}^{k} V^{l} . \end{matrix}

如果用反变基 ${\vec{g}}^{k}$ 代替共变基 ${\vec{g}}_{k}$ ,那么类似于 (4.94b) 和 (4.94c),我们得到

\begin{matrix} (4.95a) & T_{k}^{l} = \frac{\partial x_{m}}{\partial u_{k}} \frac{\partial u_{l}}{\partial x_{n}} t_{m n}, \end{matrix}

并且(4.94d)变换为

\begin{matrix} (4.95b) & W_{k} = T_{k}^{l} V_{l} \end{matrix}

对于混合坐标 $T_{k}^{l}$ 和 $T_{\cdot l}^{k}$ ,则有公式

\begin{matrix} (4.95c) & T_{\cdot l}^{k} = g^{k m} g_{l n} T_{m}^{\cdot n} . \end{matrix}

4. 纯共变和纯反变坐标

在关系式 (4.95b) 中用关系式 $V_{l} = g_{l m} V^{m}$ 代替 $V_{l}$ ,那么我们得到

\begin{matrix} (4.96a) & W_{k} = T_{k}^{l} g_{l m} V^{m} = T_{k m} V^{m}, \end{matrix}

其中还认定

\begin{matrix} (4.96b) & T_{k}^{l} g_{l m} = T_{k m} . \end{matrix}

因为指标都是共变的,所以 $T_{k m}$ 称为张量 $T$ 的共变坐标. 类似地,我们得到反变坐标

\begin{matrix} (4.97) & T_{l}^{k m} = g^{m l} T_{\cdot l}^{k} . \end{matrix}

明显公式是

\begin{matrix} (4.98a) & T_{k l} = \frac{\partial x_{m}}{\partial u_{k}} \frac{\partial x_{n}}{\partial u_{l}} t_{m n}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4.98b) & T^{k l} = \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{m}} \frac{\partial u_{l}}{\partial x_{n}} t_{m n}, \end{matrix}

4.3.4.4 计算法则

除在第 378 页 4.3.2, 5. 中所给出的法则外, 下列计算法则成立:

(1) 加法和减法 同秩张量, 若它们对应指标都是共变的或都是反变的, 则可按元素相加减, 并且结果得到同秩张量.

(2) 乘法 秩 $n$ 的张量的坐标与秩 $m$ 的张量的坐标相乘,得到秩 $m + n$ 的张量.

(3) 收缩 如果令一个秩 $n (n \geq 2)$ 张量的共变坐标和反变坐标的指标相等,那么可以对这个指标应用爱因斯坦求和约定,并且得到一个秩 $n - 2$ 张量. 这种运算称作收缩.

(4) 外加调整 两个张量的外加调整是指下列运算: 两者相乘, 并且进行收缩使得实施收缩的指标属于不同的因子.

(5) 对称性 一个张量称作关于固定的两个共变指标或两个反变指标对称, 如果交换它们时张量不变.

(6) 斜对称性 一个张量称作关于固定的两个共变指标或两个反变指标斜对称, 如果交换它们时张量被乘以 -1 .

交错张量 (参见第 380 页 4.3.3.2, 3.) 关于任意两个共变指标或反变指标反对称.

4.3.4 曲线坐标系中的张量 ​

4.3.4.1 共变和反变基向量 ​

1. 共变基 ​

2. 反变基 ​

4.3.4.2 秩 1 张量的共变和反变坐标 ​

4.3.4.3 秩 2 张量的共变、反变和混合坐标 ​

1. 坐标变换 ​

2. 线性向量函数 ​

3. 混合坐标 ​

4. 纯共变和纯反变坐标 ​

4.3.4.4 计算法则 ​