11.3.3 一个积分方程到一个线性方程组的约化

为了确定解函数 $\phi \left(y\right)$ 对于一个规范正交系的傅里叶系数,需要一个线性方程组. 首先,选择一个完全规范正交系 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right),y\in \left[a,b\right]$ . 对于区间 $x\in \left[c,d\right]$ ,可以选取一个相应的完全规范正交系 $\left({\alpha }_n\left(x\right)\right)$ . 对于 $\left({\alpha }_n\left(x\right)\right)$ ,函数 $f\left(x\right)$ 有傅里叶级数

$$\begin{array}{}\text{(11.46a)}& f\left(x\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_i{\alpha }_i\left(x\right),\text{ 其中 }{f}_i={\int }_c^d{\alpha }_i\left(x\right)f\left(x\right)\mathrm{d}x.\end{array}$$

如果用 ${\alpha }_i\left(x\right)$ 乘以积分方程 (11.41),并将结果在 $\left[c,d\right]$ 区间上积分,得到

$$f_i={\int }_c^d{\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right){\alpha }_i\left(x\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$$$\begin{array}{}\text{(11.46b)}& ={\int }_a^b\left\{{\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_i\left(x\right)\mathrm{d}x\right\}\phi \left(y\right)\mathrm{d}y\left(i=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

花括号中的表达式是 $y$ 的一个函数,其傅里叶表达式为

$$\begin{array}{}\text{(11.46c)}& {\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_i\left(x\right)\mathrm{d}x=K_i\left(y\right)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{ij}{\beta }_j\left(y\right),\end{array}$$

其中

$$K_{ij}={\int }_a^b{\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_i\left(x\right){\beta }_j\left(y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

用傅里叶级数方法

$$\begin{array}{}\text{(11.46d)}& \phi \left(y\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{\beta }_k\left(y\right),\end{array}$$

即得

$$f_i={\int }_a^b\left\{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{ij}{\beta }_j\left(y\right)\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{\beta }_k\left(y\right)\right)\right\}\mathrm{d}y$$$$\begin{array}{}\text{(11.46e)}& =\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{ij}{c}_k{\int }_a^b{\beta }_j\left(y\right){\beta }_k\left(y\right)\mathrm{d}y\left(i=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

由于规范正交性质 (11.44b), 方程组

$$\begin{array}{}\text{(11.46f)}& f_i=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{ij}{c}_j\left(i=1,2,\cdots \right)\end{array}$$

成立. 这是一个确定系数 $c_1,c_2,\cdots$ 的无穷方程组. 方程组的系数矩阵

$$\begin{array}{}\text{(11.46g)}& \mathbf{K}=\left(\begin{array}{cccc}{K}_{11}& K_{12}& K_{13}& \cdots \\ K_{21}& K_{22}& K_{23}& \cdots \\ K_{31}& K_{32}& K_{33}& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \end{array}\right)\end{array}$$

被称为一个核矩阵 (kernel matrix). 数 $f_i$ 和 $K_{ij}\left(i,j=1,2,\cdots \right)$ 是已知的,虽然它们依赖于所选取的规范正交系.

$◼f\left(x\right)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin y}{\cos y-\cos x}\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,0\le x\le \pi$ . 在柯西主值的意义上理解这个积分. 可以利用下述规范正交系:

(1) ${\alpha }_0\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi }},{\alpha }_i\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos ix\left(i=1,2,\cdots \right),\left(2\right){\beta }_j\left(y\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin jy(j=$ $1,2,\cdots )$ .

由(11.46d),核矩阵系数为 ${(\text{其中}i,j=1,2,\cdots )}^{\mathrm{T}}$

$$K_{0j}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin y\sin jy}{\cos y-\cos x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0,$$$$K_{ij}=\frac{2}{\pi }\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin y\sin jy\cos ix}{\cos y-\cos x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{2}{{\pi }^2}{\int }_0^{\pi }\sin y\sin jy\left\{{\int }_0^{\pi }\frac{\cos ix}{\cos y-\cos x}\mathrm{d}x\right\}\mathrm{d}y.$$

对于内积分, 成立方程

$$\begin{array}{}\text{(11.47)}& {\int }_0^{\pi }\frac{\cos ix}{\cos y-\cos x}\mathrm{d}x=-\pi \frac{\sin iy}{\sin y}.\end{array}$$

因而 $K_{ij}=-\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin jy\sin iy\mathrm{d}y=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j,\\ -1,& i=j.\end{array}$

从 (11.46a),函数 $f\left(x\right)$ 的傅里叶系数是 $f_i={\int }_0^{\pi }f\left(x\right){\alpha }_i\left(x\right)\mathrm{d}x\left(i=0,1,2,\cdots \right)$ .

方程组是 $\left(\begin{array}{rrrr}0& 0& 0& \cdots \\ -1& 0& 0& \cdots \\ 0& -1& 0& \cdots \\ ⋮& & & ⋮\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ ⋮\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_0\\ f_1\\ f_2\\ f_3\\ ⋮\end{array}\right)$ . 根据第一个方程,方程组

可以有解,仅当方程 $f_0={\int }_0^{\pi }f\left(x\right){\alpha }_0\left(x\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\pi }f\left(x\right)\mathrm{d}x=0$ 成立时. 此时 $c_j=$ $-f_j\left(j=1,2,\cdots \right)$ ,并且 $\phi \left(y\right)=-\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_j\sin jy=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin y}{\cos y-\cos x}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ 成立.