1.1.5 代数式

1.1.5.1 定义

1. 代数式

把一个或多个代数量如数字或符号,用 $+,-,\cdot ,:,\sqrt{}$ 等运算符号连接起来,并通过各类括号确定运算顺序, 由此得到的式子称为代数式或项.

2. 恒等式

若代数式中的符号取任意值, 等式均成立, 两个代数式间的这种相等关系称为恒等.

3. 方程

若仅当代数式中的符号取某些数值时, 等式才成立, 两个代数式间的这种相等关系称为方程. 例如, 若有相同自变量的两个函数间的相等关系式

$$\begin{array}{}\text{(1.27)}& F\left(x\right)=f\left(x\right)\end{array}$$

只对于变量的某些值成立,称为含一个变量的方程. 如果等式对任意 $x$ 值都成立, 则称为恒等式,或者称等式恒成立,记作 $F\left(x\right)\equiv f\left(x\right)$ .

4. 恒等变换

把一个代数式变换成另一个与之恒等的代数式, 称为恒等变换, 其目的在于变换形式, 比如在进一步计算时能得到更简便的形式. 把代数式以一种特别便于解方程, 或取对数、求导或求积分等形式给出, 通常很有意义.

1.1.5.2 代数式的详细知识

1. 基本量

基本量是指根据代数式的分类, 出现在代数式中的一般数 (文字符号). 在任何单一情形下, 基本量是固定的. 对于函数, 自变量是基本量, 尚未给出数值的其他量是代数式的参数. 有些代数式中, 参数称为系数.

• 比如, 所谓的系数出现在多项式、傅里叶级数和线性差分方程等情形中.

代数式的分类取决于对基本量进行运算的类型. 通常用字母表的后几个字母 $x$ , $y,z,u,v,\cdots$ 表示基本量,用前几个字母 $a,b,c,\cdots$ 表示参数. 并用字母 $m,n$ , $p,\cdots$ 表示正整数参数值,如求和指标或迭代指标.

2. 整有理式

整有理式指只对基本量进行加法、减法、乘法, 以及非负整数次幂运算的代数式.

3. 有理式

有理式也包含对基本量的除法运算, 即除以整有理式, 故基本量的指数也可为负整数.

4. 无理式

无理式包含根式, 即整有理式的非整有理次幂, 当然也包含基本量的有理式.

5. 超越式

超越式包含基本量的指数式、对数式或三角式, 即基本量代数式的指数中可存在无理数, 或者基本量的代数式可位于指数、三角式或对数式的自变量中.