19.3.2 插值求积

如下公式称为插值求积. 这里被积函数 $f\left(x\right)$ 在某些 (尽可能少的) 插值点被相应阶的多项式 $p\left(x\right)$ 插值,函数 $f\left(x\right)$ 由多项式 $p\left(x\right)$ 代替. 在整个区间上的积分由和式给出. 这里给出的公式可用于大多数实际情况. 插值节点是等距的:

$$\begin{array}{}\text{(19.72)}& x_{\nu }=x_0+\nu h\left(\nu =0,1,2,\cdots ,n\right),x_0=a,x_n=b,h=\frac{b-a}{n}.\end{array}$$

对每个求积公式给出误差 $\left|R\right|$ 的上界. 这里 $M_{\mu }$ 表示 $\left|f^{\left(\mu \right)}\left(x\right)\right|$ 在整个区域的上界.

19.3.2.1 矩形公式

在区间 $\left[x_0,x_0+h\right]$ 上,被积函数 $f\left(x\right)$ 由常数函数 $y=y_0=f\left(x_0\right)$ 代替,其被积函数在插值点 $x_0$ 上,称为左端矩形积分. 于是得到简单矩形公式

$$\begin{array}{}\text{(19.73a)}& {\int }_{x_0}^{x_0+h}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx h\cdot y_0,\left|R\right|\le \frac{h^2}{2}{M}_1.\end{array}$$

复化左端矩形公式为

$$\begin{array}{}\text{(19.73b)}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx h\left(y_0+y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}\right),\left|R\right|\le \frac{\left(b-a\right)h}{2}{M}_1.\end{array}$$

$M_1$ 表示 $\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|$ 在整个插值区域的上界.

类似地,可以得到右端矩形公式,在 (19.73a) 中用 $y_1$ 代替 $y_0$ . 有

$$\begin{array}{}\text{(19.74)}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx h\left(y_1+y_2+\cdots +y_n\right),\left|R\right|\le \frac{\left(b-a\right)h}{2}{M}_1.\end{array}$$

19.3.2.2 梯形公式

在区间 $\left[x_0,x_0+h\right]$ 上,被积函数 $f\left(x\right)$ 由线性函数代替,其插值点为 $x_0$ 与 $x_1=x_0+h$ . 于是得到梯形公式

$$\begin{array}{}\text{(19.75)}& {\int }_{x_0}^{x_0+h}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{2}\left(y_0+y_1\right),\left|R\right|\le \frac{h^3}{12}{M}_2.\end{array}$$

所谓复化梯形公式为

$${\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx h\left(\frac{y_0}{2}+y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}+\frac{y_n}{2}\right),\left|R\right|\le \frac{\left(b-a\right)h^2}{12}{M}_2.$$

(19.76)

$M_2$ 表示 $\left|f^{\prime \prime }\left(x\right)\right|$ 在整个插值区域的上界. 梯形公式的误差为 $h^2$ ,即梯形公式的误差阶为 2. 若不考虑舍入误差,当 $h\to 0\left(n\to \mathrm{\infty }\right)$ 时,梯形公式收敛到定积分.

19.3.2.3 辛普森公式

在区间 $\left[x_0,x_0+2h\right]$ 上,被积函数 $f\left(x\right)$ 由二次多项式代替,其插值点为 $x_0$ , $x_1=x_0+h$ 及 $x_2=x_0+2h$ :

$$\begin{array}{}\text{(19.77)}& {\int }_{x_0}^{x_0+2h}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{3}\left(y_0+4y_1+y_2\right),\left|R\right|\le \frac{h^5}{90}{M}_4.\end{array}$$

对复化辛普森公式 $n$ 必须为偶数. 其近似为

$$\begin{array}{}\text{(19.78)}& {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{3}\left(y_0+4y_1+2y_2+4y_3+\cdots +2y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n\right),(19\end{array}$$$$\left|R\right|\le \frac{\left(b-a\right)h^4}{180}{M}_4.$$

$M_4$ 为 $\left|f^{\left(4\right)}\left(x\right)\right|$ 在整个插值区域的上界. 辛普森公式的误差阶为 4,它对三次多项

式准确成立.

19.3.2.4 埃尔米特梯形公式

在区间 $\left[x_0,x_0+h\right]$ 上,被积函数 $f\left(x\right)$ 由三次多项式代替,在节点 $x_0$ 与 $x_1=$ $x_0+h$ 处插值函数 $f\left(x\right)$ 与导数 $f^{\prime }\left(x\right)$ :

$$\begin{array}{}\text{(19.79)}& {\int }_{x_0}^{x_0+h}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx \frac{h}{2}\left(y_0+y_1\right)+\frac{h^2}{12}\left(y_0^{\prime }-y_1^{\prime }\right),\left|R\right|\le \frac{h^5}{720}{M}_4.\end{array}$$

埃尔米特梯形公式通过求和得到

$${\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\approx h\left(\frac{y_0}{2}+y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}+\frac{y_n}{2}\right)+\frac{h^2}{12}\left(y_0^{\prime }-y_n^{\prime }\right),$$$$\begin{array}{}\text{(19.80)}& \left|R\right|\le \frac{\left(b-a\right)h^4}{720}{M}_4\end{array}$$

$M_4$ 表示 $\left|f^{\left(4\right)}\left(x\right)\right|$ 在整个插值区域的上界. 埃尔米特梯形公式的误差阶为 4,它对三次多项式准确成立.