10.5 变分问题的数值解

在实践中, 解变分问题最经常用到两种方法.

1. 欧拉微分方程的解以及使所找到的解满足边界条件

通常, 欧拉微分方程的精确解只是在最简单的情形才是可能的, 因而用数值方法来解常微分方程或偏微分方程的边值问题 (参见第 1267 页 19.5 或第 1353 页20.3.4).

2. 直接法

从变分问题直接产生直接法, 并且不利用欧拉微分方程. 最流行的, 并且也许是最老的方法是里茨方法(Ritz method). 它属于所谓的逼近方法, 这是用来获得微分方程逼近解的 (参见第 1265 页 19.4.2.2 和第 1270 页 19.5.2). 下述例子展示了这个方法.

$◼$ 数值地解等周问题

$$\begin{array}{}\text{(10.52a)}& {\int }_0^1{y}^{\prime 2}\left(x\right)\mathrm{d}x=\text{极值!}\end{array}$$

其中函数 $y\left(x\right)$ 要满足

$$\begin{array}{}\text{(10.52b)}& {\int }_0^1{y}^2\left(x\right)\mathrm{d}x=1,y\left(0\right)=y\left(1\right)=0.\end{array}$$

根据第 808 页 10.3.3, 没有积分辅助条件相应的变分问题是

$$\begin{array}{}\text{(10.52c)}& I\left[y\right]={\int }_0^1\left[y^{\prime 2}\left(x\right)-\lambda y^2\left(x\right)\right]\mathrm{d}x=\text{ 极值! }\end{array}$$

作为求一个逼近解的起始步, 可以用

$$\begin{array}{}\text{(10.52d)}& y\left(x\right)=a_{1}x\left(x-1\right)+a_2{x}^2\left(x-1\right).\end{array}$$

两个逼近函数 $x\left(x-1\right)$ 和 $x^2\left(x-1\right)$ 是线性无关的,并且满足边界条件. 利用(10.52d) 来约化(10.52c),得到

$$\begin{array}{}\text{(10.52e)}& I\left(a_1,a_2\right)=\frac{1}{3}{a}_1^2+\frac{2}{15}{a}_2^2+\frac{1}{3}{a}_1{a}_2-\lambda \left(\frac{1}{30}{a}_1^2+\frac{1}{105}{a}_2^2+\frac{1}{30}{a}_1{a}_2\right),\end{array}$$

并且必要条件 $\frac{\partial I}{\partial a_1}=\frac{\partial I}{\partial a_2}=0$ 导致齐次线性方程组

$$\begin{array}{}\text{(10.52f)}& \left(\frac{2}{3}-\frac{\lambda }{15}\right)a_1+\left(\frac{1}{3}-\frac{\lambda }{30}\right)a_2=0,\left(\frac{1}{3}-\frac{\lambda }{30}\right)a_1+\left(\frac{4}{15}-\frac{2\lambda }{105}\right)a_2=0\end{array}$$

只有当这个方程组的系数矩阵行列式为零:

$$\begin{array}{}\text{(10.52g)}& {\lambda }^2-52\lambda +420=0,\text{ 即 }{\lambda }_1=10,{\lambda }_2=42\end{array}$$

时该方程组有非平凡解. 对于 $\lambda ={\lambda }_1=10$ ,从(10.52f)即得 $a_2=0,a_1$ 任意,因而属于 ${\lambda }_1=10$ 的正规化解是

$$\begin{array}{}\text{(10.52h)}& y=5.48x\left(x-1\right).\end{array}$$

为了作一个比较,考虑属于(10.52f)的欧拉微分方程. 这里边值问题

$$\begin{array}{}\text{(10.52i)}& y^{\prime \prime }+\lambda y=0,\text{ 并且 }y\left(0\right)=y\left(1\right)=0\end{array}$$

的本征值为 ${\lambda }_k=k^2{\pi }^2\left(k=1,2,\cdots \right)$ ,解为 $y_k=c_k\sin k\pi x$ . 对于 $k=1$ 时,即 ${\lambda }_1={\pi }^2\approx 9.87$ 时的正规化解为

$$\begin{array}{}\text{(10.52j)}& y=\sqrt{2}\sin \pi x,\end{array}$$

它确实与逼近解(10.52h)非常接近.

注 在当今计算机和科学的水平下, 把有限元方法(finite element method, FEM) 应用于变分问题的数值解是第一位的.

对于微分方程的数值解, 在第 1271 页 19.5.3 中给出了有限元方法的基本想法. 在那里, 微分方程和变分方程之间的相似性将被用到, 例如, 欧拉微分方程, 或者根据 (19.146a)、(19.146b), 双线性型.

此外, 作为对非线性最优化问题的有效数值方法, 梯度方法 (gradient method) 也被用于变分问题的数值解.