7.3.2 一致收敛

7.3.2.1 定义、魏尔斯特拉斯定理

由数列极限的定义 (参见第 614 页 7.1.2 和 616 页 7.2.1.1,2.),若对任意 $\epsilon >0$ , 都存在某一正数 $N\left(x\right)$ ,使得当 $n>N\left(x\right)$ 时,有 $\left|S\left(x\right)-S_n\left(x\right)\right|<\epsilon$ ,则对数域 $D$ 上的每个 $x$ ,级数 (7.74) 都收敛于 $S\left(x\right)$ . 函数项级数分为如下两种情形.

1. 一致收敛级数

若存在一个数 $N$ ,使得级数 (7.74) 收敛域中的一切 $x$ ,都有当 $n>N$ 时, $\left|S\left(x\right)-S_n\left(x\right)\right|<\epsilon$ ,则称级数在收敛域上一致收敛.

2. 非一致收敛级数

若不存在数 $N$ ,使得对于收敛域中的每个 $x$ 上述关系成立,即存在 $\epsilon$ ,使得收敛域中的至少有一个 $x$ 对任意大的 $n$ ,有 $\left|S\left(x\right)-S_n\left(x\right)\right|>\epsilon$ ,则称级数非一致收敛.

$◼\mathbf{A}$: 级数

$$\begin{array}{}\text{(7.79a)}& 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ={\mathrm{e}}^x\end{array}$$

(参见第 1373 页表 21.5) 对每个 $x$ 均收敛,且在 $x$ 的每个有界区间上一致收敛. 事实上,对每个 $\left|x\right|<a$ ,利用麦克劳林公式中的余项 (参见第 631 页 7.3.3.3,2.),有不等式

$$\begin{array}{}\text{(7.79b)}& \left|S\left(x\right)-S_n\left(x\right)\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Theta }x}\right|<\frac{a^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{\mathrm{e}}^a\left(0<\mathrm{\Theta }<1\right),\end{array}$$

因为对于 $n,\left(n+1\right)$ ! 的增长速度要快于 $a^{n+1}$ ,因此当 $n$ 足够大时,不等式右边的表达式与 $x$ 无关,且小于 $\epsilon$ . 但是该级数并非在整个数轴上一致收敛,因为对任意大的 $n$ ,总存在值 $x$ ,使得 $\left|\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)!}{\mathrm{e}}^{\mathrm{\Theta }x}\right|$ 大于前面给定的 $\epsilon$ .

$◼\mathbf{B}$: 级数

$$\begin{array}{}\text{(7.80a)}& x+x\left(1-x\right)+x{(1-x)}^2+\cdots +x{(1-x)}^n+\cdots \end{array}$$

对于 $\left[0,1\right]$ 上的每个 $x$ 都收敛,这是因为由达朗贝尔比值审敛法 (参见第 618 页7.2.2)

$$\begin{array}{}\text{(7.80b)}& \rho =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|1-x\right|<1,0<x\le 1\left(\text{ 当 }x=0\text{ 时,}S=0\right).\end{array}$$

该级数非一致收敛, 因为

$$\begin{array}{}\text{(7.80c)}& S\left(x\right)-S_n\left(x\right)=x\left[{(1-x)}^{n+1}+{(1-x)}^{n+2}+\cdots \right]={(1-x)}^{n+1}\end{array}$$

对每个 $n$ 都存在一个 $x$ ,满足 ${(1-x)}^{n+1}$ 无限趋近于 1,即不会小于 $\epsilon$ . 当 $0<a<1$ 时,在区间 $\left[a,1\right]$ 上级数一致收敛.

3. 魏尔斯特拉斯一致收敛审敛法

级数 (7.81a) 在一已知区域上一致收敛, 若满足: 存在一正项收敛级数 (7.81b), 使得对于该区域的每个 $x$ ,都有不等式 (7.81c) 成立.

$$\begin{array}{}\text{(7.81a)}& f_1\left(x\right)+f_2\left(x\right)+\cdots +f_n\left(x\right)+\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.81b)}& c_1+c_2+\cdots +c_n+\cdots ,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.81c)}& \left|f_n\left(x\right)\right|\le c_n.\end{array}$$

(7.81b) 称为级数 (7.81a) 的强级数.

7.3.2.2 一致收敛级数的性质

1. 连续性

若函数 $f_1\left(x\right),f_2\left(x\right),\cdots ,f_n\left(x\right),\cdots$ 在某区域上均连续,且级数 $f_1\left(x\right)+$ $f_2\left(x\right)+\cdots +f_n\left(x\right)+\cdots$ 在该区域上一致收敛,则其和 $S\left(x\right)$ 仍在该区域上连续. 若级数在此区域非一致收敛,则其和 $S\left(x\right)$ 可能在该区域不连续.

$◼\mathbf{A}$: 级数 (7.80a) 的和不连续: 当 $x=0$ 时, $S\left(x\right)=0$ ; 当 $x>0$ 时, $S\left(x\right)=1$ .

$◼\mathbf{B}$: 级数 (7.79a) 的和是连续函数: 级数在整个数轴上非一致收敛, 但是在每个有限区间上一致收敛.

2. 一致收敛级数的积分与微分

在区域 $\left[a,b\right]$ 上一致收敛的级数在该区域上逐项可积,同样,在 $\left[a,b\right]$ 上一致收敛的级数在该区域上逐项可微, 即

$$\begin{array}{}\text{(7.82a)}& {\int }_{x_0}^x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n\left(t\right)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{x_0}^x{f}_n\left(t\right)\mathrm{d}t,x_0,x\in \left[a,b\right],\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(7.82b)}& {(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n\left(x\right))}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n^{\prime }\left(x\right),x\in \left[a,b\right].\end{array}$$