15.1.1 积分变换的一般定义

积分变换指两个函数 $f\left(t\right)$ 和 $F\left(p\right)$ 之间形如

$$\begin{array}{}\text{(15.1a)}& F\left(p\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}K\left(p,t\right)f\left(t\right)\mathrm{d}t\end{array}$$

的对应. 函数 $f\left(t\right)$ 称为原函数,其定义域是原像空间. 函数 $F\left(p\right)$ 称为变换,其定义域是像空间.

函数 $K\left(p,t\right)$ 称为变换的核. 一般情况下, $t$ 是实变量, $p=\sigma +\mathrm{i}\omega$ 是复变量.

引入符号 $\mathcal{T}$ ,对于核为 $K\left(p,t\right)$ 的积分变换,则可使用较简洁的记号:

$$\begin{array}{}\text{(15.1b)}& F\left(p\right)=\mathcal{T}\{f\left(t\right)\}.\end{array}$$

(15.1b) 式称为 $\mathcal{T}$ 变换.