11.3.4 第一类齐次积分方程的解

如果 $\phi \left(y\right)$ 和 ${\phi }^h\left(y\right)$ 分别是非齐次和齐次积分方程的任意解,即

$$\begin{array}{}\text{(11.48a)}& f\left(x\right)={\int }_a^{b}K\left(x,y\right)\phi \left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.48b)}& 0={\int }_a^{b}K\left(x,y\right){\phi }^h\left(y\right)\mathrm{d}y,\end{array}$$

则它们的和 $\phi \left(y\right)+{\phi }^h\left(y\right)$ 是非齐次积分方程的一个解. 因而,要确定齐次积分方程的所有解. 这个问题与确定线性方程组

$$\begin{array}{}\text{(11.49)}& \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{ij}{c}_j=0\left(i=1,2,\cdots \right)\end{array}$$

的所有非平凡解是一样的. 有时, 这个方程组不是那么容易就能解的, 下述方法可用于计算. 如果存在一个完全规范正交系 $\left({\alpha }_n\left(x\right)\right)$ ,取函数

$$\begin{array}{}\text{(11.50a)}& K_i\left(y\right)={\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_i\left(x\right)\mathrm{d}x\left(i=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

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① 原文把 $K_{ij}$ 式中的 $\sin jy$ 误为 $\sin iy$ . - 译者注

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如果 ${\phi }^h\left(y\right)$ 是齐次方程的任一解,即成立

$$\begin{array}{}\text{(11.50b)}& {\int }_a^{b}K\left(x,y\right){\phi }^h\left(y\right)\mathrm{d}y=0,\end{array}$$

则用 ${\alpha }_i\left(x\right)$ 乘以这个方程,并关于 $x$ 积分,即给出

$$\begin{array}{}\text{(11.50c)}& 0={\int }_a^b{\phi }^h\left(y\right){\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_i\left(x\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_a^b{\phi }^h\left(y\right)K_i\left(y\right)\mathrm{d}y\left(i=1,2,\cdots \right),\end{array}$$

即,齐次方程的每个解 ${\phi }^h\left(y\right)$ 都与每个函数 $K_i\left(y\right)$ 正交. 用一个规范正交系 $\left(K_n^{\ast }\left(y\right)\right)$ 代替 $\left(K_n\left(y\right)\right)$ ,并利用一个正交化过程,替代(11.50c)而有

$$\begin{array}{}\text{(11.50d)}& {\int }_a^b{\phi }^h\left(y\right)K_i^{\ast }\left(y\right)\mathrm{d}y=0.\end{array}$$

把规范正交系 $\left(K_n^{\ast }\left(y\right)\right)$ 拓广为一个完全规范正交系,那么(11.50d)显然对新函数的每个线性组合都成立. 如果规范正交系 $\left(K_n^{\ast }\left(y\right)\right)$ 已经是完全的,那么只存在平凡解 ${\phi }^h\left(y\right)=0$ .

可以完全用相同的方法来计算伴随齐次积分方程的解组:

$$\begin{array}{}\text{(11.50e)}& {\int }_c^{d}K\left(x,y\right)\psi \left(x\right)\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

$\pi \frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin y}{\cos y-\cos x}\phi \left(y\right)\mathrm{d}y=0,0\le x\le \pi$ . 一个规范正交系是 ${\alpha }_i\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin ix(i=$$1,2,\cdots ),K_i\left(y\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin x\sin ix}{\cos y-\cos x}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\cos \left(i-1\right)x-\cos \left(i+1\right)x}{\cos y-\cos x}\mathrm{d}x.$两次应用 (11.47) 导致 $K_i\left(y\right)=-\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{2}\left(\frac{\sin \left(i-1\right)y-\sin \left(i+1\right)y}{\sin y}\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}$ . $\cos iy\left(i=1,2,\cdots \right).\left(K_n\left(y\right)\right)$ 已经是一个规范正交系了. 函数 $K_0\left(y\right)=\sqrt{\frac{1}{\pi }}$ 完全了这个系. 因而齐次方程仅有解 ${\phi }^h\left(y\right)=c\sqrt{\frac{1}{\pi }}=\tilde{c}$ ( $c$ 是任意的).