9.1.3 边值问题

9.1.3.1 问题的表述

1. 边值问题的概念

在不同的应用中, 例如, 在数学物理中, 必须解所谓的边值问题 (boundary value problems) 的微分方程 (参见第 776 页 9.2.3), 所求之解在自变量的一个区间的端点处必须满足事先给定的关系. 一个特殊情形是线性边值问题, 即线性微分方程的解必须满足线性边值条件. 在下一节中, 把讨论限制在具有线性边值的二阶微分方程.

2. 自伴微分方程

自伴微分方程 (self-adjoint differential equations) 是形如

$$\begin{array}{}\text{(9.67a)}& {\left[p{y}^{\prime }\right]}^{\prime }-qy+\lambda \varrho y=f\end{array}$$

的重要的特殊的二阶微分方程. 线性边值是齐次条件

$$\begin{array}{}\text{(9.67b)}& A_{0}y\left(a\right)+B_0{y}^{\prime }\left(a\right)=0,A_{1}y\left(b\right)+B_1{y}^{\prime }\left(b\right)=0.\end{array}$$

诸函数 $p\left(x\right),p^{\prime }\left(x\right),q\left(x\right),\varrho \left(x\right)$ 和 $f\left(x\right)$ 被假设在有限区间 $a\le x\le b$ 中是连续的. 在无穷区间的情形,结果有很大差异 (见 [9.5]). 此外,还假设 $p\left(x\right)>p_0>$ $0,\varrho \left(x\right)>{\varrho }_0>0$ . 微分方程的一个参数,量 $\lambda$ 是一个常数. 当 $f=0$ 时,它被称为与非齐次边值问题 (inhomogeneous boundary value problem) 相伴的齐次边值问题 (homogeneous boundary value problem).

每个形如

$$\begin{array}{}\text{(9.67c)}& A{y}^{\prime \prime }+B{y}^{\prime }+Cy+\lambda Ry=F\end{array}$$

的二阶微分方程,如果在 $\left[a,b\right]$ 中 $A\ne 0$ ,那么可以把该方程乘以 $p/A$ ,并施行以下

代换

$$\begin{array}{}\text{(9.67d)}& p=\exp \left(\int \frac{R}{A}\mathrm{d}x\right),q=-\frac{pC}{A},\varrho =\frac{pR}{A},\end{array}$$

都可以变为自伴方程(9.67a). 为了找到满足非齐次条件

$$\begin{array}{}\text{(9.67e)}& A_{0}y\left(a\right)+B_0{y}^{\prime }\left(a\right)=C_0,A_{1}y\left(b\right)+B_1{y}^{\prime }\left(b\right)=C_1\end{array}$$

的解,要回到具有齐次边值条件的问题,但是右端 $f\left(x\right)$ 改变了,并且用 $y=z+u$ 代入,这里 $u$ 是满足非齐次边值条件的任一二次可微函数,而 $z$ 是满足相应的齐次条件的一个新的未知函数.

3. 斯图姆 (Sturm)-刘维尔问题

对于参数 $\lambda$ 的一个给定的值,有两种情形:

(1) 或者对任意 $f\left(x\right)$ 非齐次边值问题有一个唯一解,同时相应的齐次问题只有恒等于零的平凡解;

(2) 相应的齐次问题还有不恒等于零的非平凡解, 但是在这个情形, 对于任意的右端, 非齐次问题并非都有解; 并且如果有解, 它是不唯一的.

使得第 2 种情形,即齐次问题有一个不平凡解的情形出现的那些参数 $\lambda$ 的值被称为边值问题的本征值 (eigenvalues of boundary value problem), 相应的非平凡解被称为本征函数 (eigenfunctions). 确定微分方程 (9.67a) 的本征值和本征函数的问题被称为斯图姆-刘维尔问题 (Sturm-Liouville problem).

9.1.3.2 本征函数和本征值的基本性质

1. 边值问题的本征值形成一个单调增的、趋向于无穷的实数序列

$$\begin{array}{}\text{(9.68a)}& {\lambda }_0<{\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n<\cdots .\end{array}$$

2. 与本征值 ${\lambda }_n$ 相伴的本征函数在区间 $a<x<b$ 中恰有 $n$ 个根

3. 如果 $y\left(x\right)$ 和 $z\left(x\right)$ 是属于同一个本征值 $\lambda$ 的两个本征函数,那么它们仅相差一个常数因子 $c$ ,即

$$\begin{array}{}\text{(9.68b)}& z\left(x\right)=cy\left(x\right).\end{array}$$

4. 与不同本征值 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ 相伴的两个本征函数 $y_1\left(x\right)$ 和 $y_2\left(x\right)$ 具有权函数 (weight function) $\varrho \left(x\right)$ 时是相互正交的 (orthogonal)

$$\begin{array}{}\text{(9.68c)}& {\int }_a^b{y}_1\left(x\right)y_2\left(x\right)\varrho \left(x\right)\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

5. 如果在(9.67a)中系数 $p\left(x\right)$ 和 $q\left(x\right)$ 被 $\tilde{p}\left(x\right)$ 和 $\tilde{q}\left(x\right)$ 所代替,这里 $\tilde{p}\left(x\right)\ge$ $p\left(x\right),\tilde{q}\left(x\right)\ge q\left(x\right)$ ,则本征值不减,即 ${\tilde{\lambda }}_n\ge {\lambda }_n$ ,这里 ${\tilde{\lambda }}_n$ 和 ${\lambda }_n$ 分别是改动后方程和原来方程的第 $n$ 个本征值. 但是如果系数 $\varrho \left(x\right)$ 被 $\tilde{\varrho }\left(x\right)\ge \varrho \left(x\right)$ 所代替,则本征值不增,即 ${\tilde{\lambda }}_n\le {\lambda }_n$ . 第 $n$ 个本征值连续依赖于方程诸系数,即,诸系数的小变动将导致第 $n$ 个本征值的小变动.

6. 区间 $\left[a,b\right]$ 缩小为一个较小的区间并不导致本征值的减小.

9.1.3.3 按本征函数的展开

1. 本征函数的正规化

对于每个本征值 ${\lambda }_n$ ,选取本征函数 ${\phi }_n\left(x\right)$ ,使得

$$\begin{array}{}\text{(9.69a)}& {\int }_a^b{\left[{\phi }_n\left(x\right)\right]}^2\varrho \left(x\right)\mathrm{d}x=1,\end{array}$$

则 ${\phi }_n\left(x\right)$ 被称为一个正规化的本征函数 (normalized eigenfunction).

2. 傅里叶 (Fourier) 展开

对于每个定义在区间 $\left[a,b\right]$ 中的函数 $g\left(x\right)$ ,可以用相应边值问题的诸本征函数 ${\phi }_n\left(x\right)$ 指定其傅里叶级数 (Fourier series)

$$\begin{array}{}\text{(9.69b)}& g\left(x\right)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\phi }_n\left(x\right),c_n={\int }_a^{b}g\left(x\right){\phi }_n\left(x\right)\varrho \left(x\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$

如果(9.69b)中的诸积分存在.

3. 展开定理

如果函数 $g\left(x\right)$ 有连续导数,并满足给定问题的边界条件,则 $g\left(x\right)$ (对这个边值问题的诸本征函数) 的傅里叶级数绝对并一致收敛于 $g\left(x\right)$ .

4. 帕塞瓦尔 (Parseval) 方程

如果在(9.69b)中右端的积分存在,则总成立

$$\begin{array}{}\text{(9.69c)}& {\int }_a^b{\left[g\left(x\right)\right]}^2\varrho \left(x\right)\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n^2.\end{array}$$

在此情形函数 $g\left(x\right)$ 的傅里叶级数平均收敛于 $g\left(x\right)$ ,即

$$\begin{array}{}\text{(9.69d)}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{[g\left(x\right)-\sum _{n=0}^N{c}_n{\phi }_n\left(x\right)]}^2\varrho \left(x\right)\mathrm{d}x=0.\end{array}$$

9.1.3.4 奇异情形

上述类型的边值问题经常出现在用傅里叶方法解理论物理中的问题时, 然而在区间 $\left[a,b\right]$ 的端点处往往出现所论微分方程的某些奇性,例如 $p\left(x\right)$ 为零. 在这样的奇点处, 对解提出了某些限制, 例如, 连续性, 或有限性, 或者一个有界阶下的无限增长. 这些条件起着齐次边界条件的作用 (参见第 779 页 9.2.3.3). 此外, 在某些边值问题中经常发生必须考虑齐次边界条件的情形, 使得它们与函数或其导数在区间端点处的值相联系. 经常有关系式

$$\begin{array}{}\text{(9.70)}& y\left(a\right)=y\left(b\right),p\left(a\right)y^{\prime }\left(a\right)=p\left(b\right)y^{\prime }\left(b\right),\end{array}$$

在 $p\left(a\right)=p\left(b\right)$ 的情形这表示周期性. 对于这样一些边值问题,上面所说的除了陈述 (9.68b) 外仍然成立. 这个方面进一步的讨论见 [9.5].