19.5.2 用已知函数逼近

解 $u\left(x,y\right)$ 用如下形式的函数逼近:

$$\begin{array}{}\text{(19.140)}& u\left(x,y\right)\approx v\left(x,y\right)=v_0\left(x,y\right)+\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i\left(x,y\right).\end{array}$$

这里需要区别两种情况:

(1) $v_0\left(x,y\right)$ 满足给定的非齐次微分方程,而函数 $v_i\left(x,y\right)\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 满足相应的齐次微分方程 (则要求线性组合逼近给定的边界条件).

(2) $v_0\left(x,y\right)$ 满足给定的非齐次微分方程的边界条件,而其他函数 $v_i\left(x,y\right)(i=$ $1,2,\cdots ,n)$ 满足齐次边界条件 (则要求线性组合在所考虑的区域内尽可能逼近微分方程的解).

将形如 (19.140) 的近似函数 $v\left(x,y\right)$ 在第一种情况代入边界条件,在第二种情况代入微分方程, 得到称为亏量的误差项:

$$\begin{array}{}\text{(19.141)}& \epsilon =\epsilon \left(x,y;a_1,a_2,\cdots ,a_n\right).\end{array}$$

可用下列方法之一确定未知系数 $a_i$ .

1. 配置法

亏量 $\epsilon$ 应该在 $n$ 个合理的不同的点为零,这 $n$ 个点称为配置点 $\left(x_v,y_v\right)(v=1$ , $2,\cdots ,n)$ :

$$\begin{array}{}\text{(19.142)}& \epsilon \left(x_{\nu },y_{\nu };a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)=0\left(\nu =1,2,\cdots ,n\right).\end{array}$$

第一种情况配置点在边界上 (称为边界配置), 第二种情况配置点为区域内点 (称为区域配置). 由 (19.142) 得到系数的 $n$ 个方程. 边界配置通常比区域配置更受欢迎. | 用此方法求解 19.5.1 中用差分法求解的例题, 其中函数

$$v\left(x,y;a_1,a_2,a_3\right)=-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)+a_1+a_2\left(x^2-y^2\right)+a_3\left(x^4-6x^2{y}^2+y^4\right)$$

满足微分方程,可通过在点 $\left(x_1,y_1\right)=\left(1,0.5\right),\left(x_2,y_2\right)=\left(1,1.5\right),\left(x_3,y_3\right)=\left(0.5,2\right)$ 满足边界条件来确定系数 (边界配置). 线性方程组

$$-0.3125+a_1+0.75a_2-0.4375a_3=0,$$$$-0.8125+a_1-1.25a_2-7.4375a_3=0,$$$$-1.0625+a_1-3.75a_2+10.0625a_3=0$$

的解为 $a_1=0.4562,a_2=-0.200,a_3=-0.0143$ . 通过近似函数可以计算解在任意点的近似值. 将此值与有限差分法得到的近似值相比: $v\left( {0,1}\right) = {0.3919}, v\left( {0,0}\right) =$0.4562 .

2. 最小二乘法

依赖于近似函数是否满足微分方程或边界条件, 需要:

(1)在边界 $C$ 上的线积分

$$\begin{array}{}\text{(19.143a)}& I={\int }_{\left(C\right)}{\epsilon }^2\left(x\left(t\right),y\left(t\right);a_1,\cdots ,a_n\right)\mathrm{d}t=min,\end{array}$$

其中边界曲线 $C$ 由参数方程 $x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$ 给出.

(2)或者区域 $G$ 上的二重积分

$$\begin{array}{}\text{(19.143b)}& I={\iint }_{\left(G\right)}{\epsilon }^2\left(x,y;a_1,\cdots ,a_n\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=min\end{array}$$

由必要条件 $\frac{\partial I}{\partial a_i}=0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 得到确定参数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的 $n$ 个方程.