1.6.4 化超越方程为代数方程

1.6.4.1 定义

方程 $F\left(x\right)=f\left(x\right)$ 是超越方程,若函数 $F\left(x\right)$ 或 $f\left(x\right)$ 中至少有一个不是代数的.

$◼\mathbf{A}$: $3^x=4^{x-2}\cdot 2^x$ ,

$◼\mathbf{B}$: $2{\log }_5\left(3x-1\right)-{\log }_5\left(12x+1\right)=0$ ,

$◼\mathbf{C}$: $3\cosh x=\sinh x+9$ ,

$◼\mathbf{D}$: $2^{x-1}=8^{x-2}-4^{x-2}$ ,

$◼\mathbf{E}$: $\sin x={\cos }^{2}x-\frac{1}{4}$ ,

$◼\mathbf{F}$: $x\cos x=\sin x$ .

在有些情况下, 比如通过适当的变量替换, 有可能把求解超越方程化为求解代数方程. 一般地, 超越方程只能近似求解. 下面讨论一些可化为代数方程的特殊超越方程.

1.6.4.2 指数方程

下述两种情况下,若未知量 $x$ 或多项式 $P\left(x\right)$ 只出现在数 $a,b,c,\cdots$ 的指数上, 则指数方程可化为代数方程:

a) 若幂 $a^{P_1\left(x\right)},b^{P_2\left(x\right)},\cdots$ 通过乘法或除法连接,则可取任意底数的对数.

$$3^x=4^{x-2}\cdot 2^x;x\log 3=\left(x-2\right)\log 4+x\log 2;x=\frac{2\log 4}{\log 4-\log 3+\log 2}\text{. }$$

b) 若 $a,b,c,\cdots$ 是同一数 $k$ 的整数 (或有理数) 次幂,即 $a=k^n,b=k^m,c=$ $k^l,\cdots$ ,则进行变量替换 $y=k^x$ ,可得到关于 $y$ 的代数方程,求解该方程后,可推出解 $x=\frac{\log y}{\log k}$ .

$◼$ $2^{x-1}=8^{x-2}-4^{x-2};\frac{2^x}{2}=\frac{2^{3x}}{64}-\frac{2^{2x}}{16}$ . 进行变量替换 $y=2^x$ ,可得到 $y^3-4y^2-$ $32y=0$ ,则 $y_1=8,y_2=-4,y_3=0;2^{x_1}=8,2^{x_2}=-4,2^{x_3}=0$ ,故可推出 $x_1=3$ , 方程没有其他实根.

1.6.4.3 对数方程

下述两种情况下,若未知量 $x$ 或多项式 $P\left(x\right)$ 只出现在对数符号中,则对数方程可化为代数方程:

a) 若方程只包含同一表达式的对数, 则把它替换为新未知量, 可求解关于新未知量的方程. 原未知量可通过对数求出.

$m{\left[{\log }_{a}P\left(x\right)\right]}^2+n=a\sqrt{{\left[{\log }_{a}P\left(x\right)\right]}^2+b}$ . 进行变量替换 $y={\log }_{a}P\left(x\right)$ ,可得到方程 $m{y}^2+n=a\sqrt{y^2+b}$ . 求解 $y$ 后可由方程 $P\left(x\right)=a^y$ 得到 $x$ 的解.

b) 若方程是关于 $x$ 的多项式的对数的线性组合,且底同为 $a$ ,系数为整数 $m,n,\cdots$ ,即方程形如 $m{\log }_a{P}_1\left(x\right)+n{\log }_a{P}_2\left(x\right)+\cdots =0$ ,则左边可记为有理式的对数. (原方程可以是有理系数多项式和有理表达式的对数的组合, 或是底互为有理次幂的对数的组合.)

$$◼2{\log }_5\left(3x-1\right)-{\log }_5\left(12x+1\right)=0,{\log }_5\frac{{(3x-1)}^2}{12x+1}={\log }_{5}1,\frac{{(3x-1)}^2}{12x+1}=1;$$

$x_1=0,x_2=2$ . 在原方程中,用 $x_1=0$ 进行替换,则对数中出现负值,即该对数是复值,故 $x=0$ 不是方程的解.

1.6.4.4 三角方程

若未知量 $x$ 或含整数 $n$ 的代数式 $nx+a$ 只出现于三角函数的辐角中,则三角方程可化为代数方程. 使用三角公式后 (参见第 103 页 2.7.2 及其后), 方程将只包括含 $x$ 的唯一函数,用 $y$ 替换该函数,则形成代数方程. $x$ 的解可由 $y$ 的解得到, 自然要考虑解的多值性.

$◼\sin x={\cos }^{2}x-\frac{1}{4}$ 或 $\sin x=1-{\sin }^{2}x-\frac{1}{4}$ . 进行变量替换 $y=\sin x$ ,得到 $y^2+y-\frac{3}{4}=0$ ,则 $y_1=\frac{1}{2},y_2=-\frac{3}{2}$ . 由于对任意实数 $x$ ,有 $\left|\sin x\right|\le 1,y_2$ 没有给出实根; 由 $y_1=\frac{1}{2}$ 可推出 $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 和 $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ ,且 $k=1,2,3,\cdots$ .

1.6.4.5 双曲函数方程

若未知量 $x$ 只出现于双曲函数的辐角中,则双曲函数方程可化为代数方程. 把双曲函数重新记为指数式,然后进行变量替换 $y={\mathrm{e}}^x$ 和 $\frac{1}{y}={\mathrm{e}}^{-x}$ ,则结果是关于 $y$ 的代数方程. 解此方程,可得解 $x=\ln y$ .

$$3\cosh x=\sinh x+9;\frac{3\left({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}+9;{\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^{-x}-9=0;y+\frac{2}{y}$$$$-9=0,y^2-9y+2=0;y_{1,2}=\frac{9\pm \sqrt{73}}{2};x_1=\ln \frac{9+\sqrt{73}}{2}\approx 2.1716,x_2=$$$$\ln \frac{9-\sqrt{73}}{2}\approx -1.4784.$$

(李文林 聂淑媛 译)