2.18.5 连续函数的性质

2.18.5.1 波尔查诺零点定理

若函数 $f\left(x,y\right)$ 在一连通区域有定义且连续,且对于定义域中的两点 $\left(x_1,y_1\right)$ , $\left(x_2,y_2\right)$ 函数取值异号,则在该定义域中至少存在一点 $\left(x_3,y_3\right)$ ,使得 $f\left(x,y\right)$ 在该点处等于 0 , 即

若 $f\left(x_1,y_1\right)>0,f\left(x_2,y_2\right)<0$ ,则 $f\left(x_3,y_3\right)=0$ .(2.288)

2.18.5.2 介值定理

若函数 $f\left(x,y\right)$ 在一连通区域有定义且连续,对于定义域中的两点 $\left(x_1,y_1\right)$ , $\left(x_2,y_2\right)$ 函数取值分别为 $A=f\left(x_1,y_1\right)$ 和 $B=f\left(x_2,y_2\right)$ ,且 $A\ne B$ ,则对介于 $A$ 与 $B$ 之间的任意值 $C$ ,都至少存在一点 $\left(x_3,y_3\right)$ ,满足

$$\begin{array}{}\text{(2.289)}& f\left(x_3,y_3\right)=C,A<C<B\text{ 或 }B<C<A.\end{array}$$

2.18.5.3 函数的有界性定理

若函数 $f\left(x,y\right)$ 在一有界闭区域上连续,则它在该区域有界,即存在两个数 $m$ 和 $M$ ,使得对于该区域内的任意点(x, y),都有

$$\begin{array}{}\text{(2.290)}& m\le f\left(x,y\right)\le M.\end{array}$$

2.18.5.4 魏尔斯特拉斯定理 (最大最小值存在定理)

若函数 $f\left(x,y\right)$ 在一有界闭区域上连续,则它在该区域上有最大值和最小值,即存在一点 $\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$ ,满足定义域上的所有值 $f\left(x,y\right)$ 均小于等于 $f\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$ ,又存在一点 $\left(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }\right)$ ,满足定义域上的所有值 $f\left(x,y\right)$ 均大于等于 $f\left(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }\right)$ ,即对定义域中的任意点(x, y),都有

$$\begin{array}{}\text{(2.291)}& f\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\ge f\left(x,y\right)\ge f\left(x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }\right).\end{array}$$