11.3.5 对于一个给定核的两个特殊的规范正交系的构造

1. 预备知识

无限线性方程组的解 (参见第 836 页 11.3.3) 通常并不比原始问题的解容易. 选取适当的规范正交系 $\left({\alpha }_n\left(x\right)\right)$ 和 $\left({\beta }_n\left(y\right)\right)$ 可以使得较容易地解方程组而改变核矩阵 $\mathbf{K}$ 的结构. 用下述方法可以构造两个规范正交系使得核矩阵的系数 $K_{ij}$ 仅当 $i=j$ 和 $i=j+1$ 时是非零的.

利用前一节中所给的方法,首先要确定两个规范正交系 $\left({\beta }_n^h\left(y\right)\right)$ 和 $\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right)$ ,即分别是齐次积分方程和相应的伴随齐次积分方程的解组. 这意味着,用函数 ${\beta }_n^h\left(y\right)$ 和 ${\alpha }_n^h\left(x\right)$ 的线性组合可以给出这两个积分方程所有的解. 这些规范正交系不是完全的. 用下述方法,这两个系被一步一步地完全为完全规范正交系 ${\alpha }_j\left(x\right),{\beta }_j\left(y\right)(j=$ $1,2,\cdots )$ .

2. 过程

首先确定一个正规化函数 ${\alpha }_1\left(x\right)$ ,它正交于每个函数 ${\alpha }_n^h{\left(x\right)}^{\text{①}}$ 再对 $j=1,2,\cdots$ 施行以下步骤:

(1) 由下述公式确定函数 ${\beta }_j\left(y\right)$ 和数 ${\nu }_j$ :

$$\begin{array}{}\text{(11.51a)}& {\nu }_1{\beta }_1\left(y\right)={\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_1\left(x\right)\mathrm{d}x,\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(11.51b)}& {\nu }_j{\beta }_j\left(y\right)={\int }_c^{d}K\left(x,y\right){\alpha }_j\left(x\right)\mathrm{d}x-{\mu }_{j-1}{\beta }_{j-1}\left(y\right)\left(j\ne 1\right),\end{array}$$

因而 ${\nu }_j\ne 0$ ,且 ${\beta }_j\left(y\right)$ 是正规化的. 则 ${\beta }_j\left(y\right)$ 正交于所有函数 $(\left({\beta }_n^h\left(y\right)\right),{\beta }_1\left(y\right),\cdots$ , ${\beta }_{j-1}\left(y\right))$ .

(2) 由公式

$$\begin{array}{}\text{(11.51c)}& {\mu }_j{\alpha }_{j+1}\left(x\right)={\int }_a^{b}K\left(x,y\right){\beta }_j\left(y\right)\mathrm{d}y-{\nu }_j{\alpha }_j\left(x\right)\end{array}$$

确定函数 ${\alpha }_{j+1}\left(x\right)$ 和数 ${\mu }_j$ . 有两种可能性:

(a) ${\mu }_j\ne 0$ : 函数 ${\alpha }_{j+1}\left(x\right)$ 正交于所有函数 $\left(\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right),{\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_j\left(x\right)\right)$ .

(b) ${\mu }_j=0$ : 此时函数 ${\alpha }_{j+1}\left(x\right)$ 不是唯一定义的. 这里还有两种情形:

$\left({\mathrm{b}}_1\right)$ 函数系 $\left(\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right),{\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_j\left(x\right)\right)$ 已经是完全的. 则函数系 $(\left({\beta }_n^h\left(y\right)\right)$ , ${\beta }_1\left(y\right),\cdots ,{\beta }_j\left(y\right))$ 也是完全的,过程结束.

$\left({\mathrm{b}}_2\right)$ 函数系 $\left(\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right),{\alpha }_1\left(x\right),\cdots ,{\alpha }_j\left(x\right)\right)$ 不是完全的. 此时再次选取一个正交于以前所有函数的任一函数 ${\alpha }_{j+1}\left(x\right)$ .

这个过程一直被重复, 直到规范正交系是完全时为止. 在某一步之后, 情形b)在可数步之内不出现,但是可数个函数 $\left(\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right),{\alpha }_1\left(x\right),\cdots \right)$ 仍不是完全的,这是可能的. 此时可以由正交于以前函数系中每个函数的一个函数 ${\tilde{\alpha }}_1\left(x\right)$ 重新开始.

如果诸函数 ${\alpha }_j\left(x\right),{\beta }_j\left(y\right)$ 和数 ${\nu }_j,{\mu }_j$ 由上面给出的过程所确定,则核矩阵 $\mathbf{K}$

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① 原文此处把函数 ${\alpha }_n^h\left(x\right)$ 写为 $\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right)$ (函数系) 了. - 译者注

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有形式

$$\mathbf{K}=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& \cdots \\ 0& {\mathbf{K}}^1& 0& \cdots \\ 0& 0& {\mathbf{K}}^2& \cdots \\ ⋮& \cdots & ⋮& \end{array}\right)\text{ 其中 }{\mathbf{K}}^m=\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1^{\left(m\right)}& 0& 0& \cdots \\ {\mu }_1^{\left(m\right)}& {\nu }_2^{\left(m\right)}& 0& \cdots \\ 0& {\mu }_2^{\left(m\right)}& {\nu }_3^{\left(m\right)}& \cdots \\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\end{array}\right).$$

(11.52)

矩阵 ${\mathbf{K}}^m$ 是有限的,如果在过程的有限步后有 ${\mu }_j^{\left(m\right)}=0$ . 它们是无限的,如果对可数无穷多个 $j$ 有 ${\mu }_j^{\left(m\right)}\ne 0$ . 在 $\mathbf{K}$ 中零行和零列的数目相应于函数系 $\left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right)$ 和 $\left({\beta }_n^h\left(y\right)\right)$ 中函数的数目. 如果矩阵 ${\mathbf{K}}^m$ 中只包含一个数 ${\nu }_1^{\left(m\right)}={\nu }_m$ ,即所有数 ${\mu }_j^{\left(m\right)}$ 都等于零, 则此情形非常简单.

利用第 836 页 11.3.3 的记号,对于 ${\alpha }_j\left(x\right)\in \left({\alpha }_n^h\left(x\right)\right)$ 时在 $f_j=0$ 的假设下无

穷方程组的解有

$$\begin{array}{}\text{(11.53)}& c_j=\{\begin{array}{ll}\frac{f_j}{{\nu }_j},& {\beta }_j\left(y\right)\notin \left({\beta }_n^h\left(y\right)\right),\\ \text{ 任意,}& {\beta }_j\left(y\right)\in \left({\beta }_n^h\left(y\right)\right).\end{array}\end{array}$$