2.14.5 回旋螺线

在一点处曲率半径与原点到该点的弧长成反比的点的集合为回旋螺线(图 2.77), 即

$$\begin{array}{}\text{(2.251a)}& r=\frac{a^2}{s}\left(a>0\right).\end{array}$$

回旋螺线的参数方程为

$$x=a\sqrt{\pi }{\int }_0^t\cos \frac{\pi t^2}{2}\mathrm{d}t,y=a\sqrt{\pi }{\int }_0^t\sin \frac{\pi t^2}{2}\mathrm{d}t\text{,其中}t=\frac{s}{a\sqrt{\pi }},s=\stackrel{⏜}{OP}\text{.}$$

(2.251b)

上述积分尽管不能用初等函数表示,但对任意给定的参数值 $t=t_0,t_1,\cdots$ ,可用数值积分进行计算 (参见第 1252 页 19.3), 因此回旋螺线可以逐点画出. 计算机算法见文献 [3.12].

曲线关于原点中心对称,原点也为拐点. 拐点处的切线为 $x$ 轴, $A,B$ 为曲线的渐近点,坐标分别为 $\left(+\frac{a\sqrt{\pi }}{2},+\frac{a\sqrt{\pi }}{2}\right)$ 和 $\left(-\frac{a\sqrt{\pi }}{2},-\frac{a\sqrt{\pi }}{2}\right)$ . 回旋螺线广泛应用于公路工程, 如用回旋螺线段实现直线和圆弧间的过渡.