17.2.4 维数

17.2.4.1 测度维数

1. 分形

动力系统的吸引子或者其他不变集在几何构造上看可以比点、线或者环面复杂的多. 分形是不依赖于动力系统的集合, 它们依据诸如碎片、多孔性、复杂性和自相似性等一个或几个特征来区分彼此. 通常, 描述光滑曲面或曲线的维数概念不能应用于分形中, 我们需要一个更加一般的维数定义, 关于这方面更多细节可参见 [17.8],[17.20],[17.4].

• 将区间 $G_0=\left[0,1\right]$ 分成三段长度相等的子区间,去掉三者之中位于中间的开区间后得到集合 $G_1=\left[0,\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{2}{3},1\right]$ . 对 $G_1$ 的两个子区间分别进行上述同样操作后, 得到集合 $G_2=\left[0,\frac{1}{9}\right]\cup \left[\frac{2}{9},\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right]\cup \left[\frac{8}{9},1\right]$ . 继续上述过程,对集合 $G_{k-1}$ 的所有子区间分别移去中间的三分之一开区间后得到集合 $G_k$ ,如此下去我们得到一列集合 $G_0\supset G_1\supset \cdots \supset G_n\supset \cdots$ ,其中每个 $G_n$ 由 $2^n$ 个长度为 $\frac{1}{3^n}$ 的区间组成.

康托尔集 $C$ 由属于所有集合 $G_n$ 的点组成,即 $C=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n$ ,这是一个紧的不可数集合,其勒贝格测度为 0 并且是完全的,即 $C$ 为闭集且每个点为聚点. 康托尔集即为一个分形的例子.

2. 豪斯多夫维数

该维数的定义来自基于勒贝格测度的体积计算. 假设有界集合 $A\subset {\mathbb{R}}^s$ 被有限个半径 $r_i$ 不超过 $\epsilon$ 的球体 $B_{r_i}$ 覆盖,即 $\bigcup _i{B}_{r_i}\supset A$ ,则粗略地看, $A$ 的 “体积” 为 $\sum _i\frac{4}{3}\pi r_i^3$ . 定义 ${\mu }_{\epsilon }\left(A\right)=inf\left\{\sum _i\frac{4}{3}\pi r_i^3\right\}$ ,其中下确界为在 $A$ 的所有尺寸不超过 $\epsilon$ 的球体覆盖上取. 当 $\epsilon$ 趋于零时,可得到集合 $A$ 的勒贝格外测度 $\overline{\lambda }\left(A\right)$ . 若 $A$ 可测, 外测度即为 $A$ 的体积 $\mathrm{vol}\left(A\right)$ .

设 $M$ 为欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ ,或更一般地,度量为 $\rho$ 的可分度量空间, $A\subset M$ 为 $M$ 的一个子集. 对任意 $d\ge 0,\epsilon \ge 0$ ,定义

$$\begin{array}{}\text{(17.41a)}& {\mu }_{d,\epsilon }\left(A\right)=inf\left\{\sum _i{\left(\mathrm{diam}{B}_i\right)}^d:A\subset \bigcup B_i,\mathrm{diam}{B}_i\le \epsilon \right\}\end{array}$$

其中 $B_i\subset M$ 为任意子集, $\mathrm{diam}{B}_i=\underset{x,y\in B_i}{sup}\rho \left(x,y\right)$ .

定义 $A$ 的维数为 $d$ 的豪斯多夫(Hausdorff)外测度

$$\begin{array}{}\text{(17.41b)}& {\mu }_d\left(A\right)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}{\mu }_{d,\epsilon }\left(A\right)=\underset{\epsilon >0}{sup}{\mu }_{d,\epsilon }\left(A\right),\end{array}$$

该值可能有限也可能无穷. 集合 $A$ 的豪斯多夫维数 $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)$ 定义为豪斯多夫测度的 (唯一) 临界点

$$\begin{array}{}\text{(17.41c)}& d_{\mathrm{H}}\left(A\right)=\{\begin{array}{ll}+\mathrm{\infty },& \text{ 如果 }{\mu }_d\left(A\right)\ne 0,\mathrm{\forall }d\ge 0,\\ inf\left\{d\ge 0:{\mu }_d\left(A\right)=0\right\}.& \end{array}\end{array}$$

注记 在 ${\mathbb{R}}^n$ 情形下, ${\mu }_{d,\epsilon }\left(A\right)$ 也可由边长不超过 $\epsilon$ 的方体覆盖得到.

豪斯多夫维数的重要性质

(HD1) $d_H\left(\varnothing \right)=0$ .

(HD2) 如果 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ ,则 $0\le d_{\mathrm{H}}\left(A\right)\le n$ .

(HD3) 如果 $A\subset B$ ,则 $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)\le d_{\mathrm{H}}\left(B\right)$ .

(HD4) 如果 $A=\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$ ,则 $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)=\underset{i}{sup}{d}_{\mathrm{H}}\left(A_i\right)$ .

(HD5) 如果 $A$ 为有限集或可数集,则 $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)=0$ .

(HD6) 设 $\phi$ 是利普希茨连续函数,即存在 $L>0$ 满足 $\rho \left(\phi \left(x,\phi \left(y\right)\right)\right)\le L\rho \left(x,y\right)$ , $\mathrm{\forall }x,y\in M$ ,则有 $d_{\mathrm{H}}\left(\phi \left(A\right)\right)\le d_{\mathrm{H}}\left(A\right)$ . 如果逆映射 ${\phi }^{-1}$ 存在并且也为利普希茨连续, 则有 $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)=d_{\mathrm{H}}\left(\phi \left(A\right)\right)$ .

$◼$ 对有理数集 $\mathbb{Q}$ ,由(HD5) 可知 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathbb{Q}\right)=0$ . 康托尔集 $C$ 的维数为 $d_{\mathrm{H}}\left(C\right)=\frac{\ln 2}{\ln 3}\approx$ $0.6309\cdots$ .

3. 盒维数或容量

设 $A$ 是度量空间 $\left(M,\rho \right)$ 的一个紧子集, $N_{\epsilon }\left(A\right)$ 表示用尺寸不超过 $\epsilon$ 的集合覆盖 $A$ 所需要的集合的最小个数,

$$\begin{array}{}\text{(17.42a)}& {\overline{d}}_{\mathrm{B}}\left(A\right)=\underset{\epsilon \to 0}{lim sup}\frac{\ln N_{\epsilon }\left(A\right)}{\ln \frac{1}{\epsilon }}\end{array}$$

称为 $A$ 的上盒维数或上容量,

$$\begin{array}{}\text{(17.42b)}& {\underset{―}{d}}_{\mathrm{B}}\left(A\right)=\underset{\epsilon \to 0}{lim inf}\frac{\ln N_{\epsilon }\left(A\right)}{\ln \frac{1}{\epsilon }}\end{array}$$

称为 $A$ 的下盒维数或下容量. 如果 ${\overline{d}}_{\mathrm{B}}\left(A\right)={\underset{―}{d}}_{\mathrm{B}}\left(A\right)\text{:=}{d}_{\mathrm{B}}\left(A\right)$ 成立,则称 $d_{\mathrm{B}}\left(A\right)$ 为 $A$ 的盒维数. 对 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中的非闭有界集合也可定义盒维数.

若集合 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 为有界集合,那么 $N_{\epsilon }\left(A\right)$ 可按如下方式定义: 将 ${\mathbb{R}}^n$ 分割为边长为 $\epsilon$ 的 $n$ 维方体网格,则 $N_{\epsilon }\left(A\right)$ 定义为网格中与 $A$ 相交非空的方体个数.

盒维数的重要性质

(BD1) $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)\le d_{\mathrm{B}}\left(A\right)$ 总成立.

(BD2) 对 $m$ 维曲面 $F\subset {\mathbb{R}}^n$ ,有 $d_{\mathrm{H}}\left(F\right)=d_{\mathrm{B}}\left(F\right)=m$ .

(BD3) 对集合 $A$ 的闭包 $\overline{A}$ ,有 $d_{\mathrm{B}}\left(A\right)=d_{\mathrm{B}}\left(\overline{A}\right)$ 成立,但一般地对豪斯多夫维数, $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)<d_{\mathrm{H}}\left(\left(A\right)\right)$ .

(BD4) 如果 $A=\bigcup _n{A}_n$ ,一般地对盒维数,等式 $d_{\mathrm{B}}\left(A\right)=\underset{n}{sup}{d}_{\mathrm{B}}\left(A_n\right)$ 不成立. - 设 $A=\left\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \right\}$ . 则 $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)=0,d_{\mathrm{B}}\left(A\right)=\frac{1}{2}$ .

如果 $A$ 为 $\left[0,1\right]$ 中所有有理数点构成的集合,由(BD2)与(BD3)可知 $d_{\mathrm{B}}\left(A\right)=$ 1. 另一方面, $d_{\mathrm{H}}\left(A\right)=0$ .

4. 自相似性

某些具有自相似性质的几何图形可由如下过程得到: 给定一个初始图形, 按比例 $q>1$ 复制 $p$ 个相同图形,将它们组成一个新图形. 第 $k$ 步得到的图形是对初始图形按上述方式连续 $k$ 次缩放组合后得到.

$◼\mathbf{A}$: 康托尔集: $p=2,q=3$

$◼\mathbf{B}$: 科赫 (Koth) 曲线: $p=4,q=3$ . 前三步得到图形如图 7.14 所示.

$◼\mathbf{C}$: 谢尔平斯基 (Sierpinski) 垫圈: $p=3,q=2$ . 前三步得到图形如图 17.15 所示. ID: 谢尔平斯基地毯: $p=8,q=3$ . 前三步得到图形如图 17.16 所示 (白色方形被移去).

对 $\mathbf{A}\sim \mathbf{D}$ 中例子:

$$d_{\mathrm{B}}=d_{\mathrm{H}}=\frac{\ln p}{\ln }q.$$

17.2.4.2 由不变测度定义的维数

1. 测度的维数

设 $\mu$ 为空间 $\left(M,\rho \right)$ 上支撑在集合 $\mathrm{\Lambda }$ 上的概率测度. 任取 $x\in \mathrm{\Lambda },B_{\delta }\left(x\right)$ 表示 $x$ 点为心,半径为 $\delta$ 的球体,则

$$\begin{array}{}\text{(17.43a)}& {\overline{b}}_{\mu }\left(x\right)=\underset{\delta \to 0}{lim sup}\frac{\ln \mu \left(B_{\delta }\left(x\right)\right)}{\ln \delta }\end{array}$$

与

$$\begin{array}{}\text{(17.43b)}& {\underset{―}{b}}_{\mu }\left(x\right)=\underset{\delta \to 0}{lim inf}\frac{\ln \mu \left(B_{\delta }\left(x\right)\right)}{\ln \delta }\end{array}$$

分别表示 $\mu$ 在点 $x$ 处的上与下点维数.

杨氏 (Young) 定理 1 如果对 $\mu$ 几乎处处 $x\in \mathrm{\Lambda }$ 有 $d_{\mu }\left(x\right)=\alpha$ ,则

$$\alpha =d_{\mathrm{H}}\left(\mu \right)\text{:=}\underset{X\subset \mathrm{\Lambda },\mu \left(X\right)=1}{inf}\left\{d_{\mathrm{H}}\left(X\right)\right\}.$$

称 $d_{\mathrm{H}}\left(\mu \right)$ 为测度 $\mu$ 的豪斯多夫维数.

设 $M={\mathbb{R}}^n,\mathrm{\Lambda }\subset {\mathbb{R}}^n$ 为一个紧球体,具有正的勒贝格测度,即 $\lambda \left(\mathrm{\Lambda }\right)>0$ . 记 ${\mu }_{\mathrm{\Lambda }}=\frac{\lambda }{\lambda \left(\mathrm{\Lambda }\right)}$ ,表示 $\mu$ 限制在 $\mathrm{\Lambda }$ 上的测度,则

$$\begin{array}{}\text{(17.44)}& \mu \left(B_{\delta }\left(x\right)\right)\sim {\delta }^n\text{ 且 }{d}_{\mathrm{H}}\left(\mu \right)=n.\end{array}$$

2. 信息维数

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 的吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 被边长为 $\epsilon$ 的方体 $Q_1\left(\epsilon \right),\cdots ,Q_n\left(\epsilon \right)$ 覆盖 (如第 1144 页 17.2.2.2), $\mu$ 为支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上的不变概率测度. 覆盖 $Q_1\left(\epsilon \right),\cdots ,Q_n\left(\epsilon \right)$ 的熵定义为

$$\begin{array}{}\text{(17.45)}& H\left(\epsilon \right)=-\sum _{i=1}^{n\left(\epsilon \right)}{p}_i\left(\epsilon \right)\ln p_i\left(\epsilon \right),\text{ 其中 }{p}_i\left(\epsilon \right)=\mu \left(Q_i\left(\epsilon \right)\right)\left(i=1,\cdots ,n\left(\epsilon \right)\right).\end{array}$$

如果极限 $d_{\mathrm{I}}\left(\mu \right)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{H\left(\epsilon \right)}{\ln \epsilon }$ 存在,该量具有维数性质,我们称它为信息维数.

杨氏定理 2 如果对 $\mu$ 几乎处处 $x\in \mathrm{\Lambda },d_{\mu }\left(x\right)=\alpha$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(17.46)}& \alpha =d_{\mathrm{H}}\left(\mu \right)=d_{\mathrm{I}}\left(\mu \right).\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$ : 设 $\mu$ 支撑在 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 的平衡点 $x_0$ 处. 对任意 $\epsilon >0$ ,有 $H_{\epsilon }\left(\mu \right)=-1\ln 1=0$ , 从而 $d_{\mathrm{I}}\left(\mu \right)=0$ . $◼\mathrm{B}$ : 设 $\mu$ 为支撑在系统 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 的极限环上的测度. 对任意 $\epsilon >0$ ,有 $H_{\epsilon }\left(\mu \right)=$ $-\ln \epsilon$ ,从而 $d_{\mathrm{I}}\left(\mu \right)=1$ .

3. 相关维数

设 ${\left\{y_i\right\}}_{i=1}^{+\mathrm{\infty }}$ 为 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 的吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 上的一个典型点列, $\mu$ 是 $\mathrm{\Lambda }$ 上不变的概率测度,任意取定 $m\in \mathbb{N}$ . 对向量序列 $x_i=\left(y_i,\cdots ,y_{i+m}\right)$ 定义距离 $\mathrm{dist}k\left(x_i,x_j\right)\text{:=}$ $\underset{0\le s\le m}{max}\left\{\Vert \begin{array}{c}{y}_{i+s}-y_{j+s}\end{array}\Vert \right\}$ ,其中 $\parallel \cdot \parallel$ 表示欧氏向量范数. 赫维赛德 (Heaviside) 函数$\mathrm{\Theta }=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0,\\ 1,& x>0,\end{array}$

$$C^m\left(\epsilon \right)=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{N^2}\mathrm{card}\left\{\left(x_i,x_j\right):\mathrm{dist}\left(x_i,x_j\right)<\epsilon \right\}$$$$\begin{array}{}\text{(17.47a)}& =\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{1}{N^2}\sum _{i,j=1}^N\mathrm{\Theta }\left(\epsilon -\mathrm{dist}\left(x_i,x_j\right)\right)\end{array}$$

称为相关积分,

$$\begin{array}{}\text{(17.47b)}& d_{\mathrm{K}}=\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{\ln C^m\left(\epsilon \right)}{\ln \epsilon }\end{array}$$

称为相关维数(如果极限存在).

4. 广义维数

设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \gamma }$ 在吸引子 $\mathrm{\Lambda }\subset M$ 上有不变的概率测度 $\mu ,\mathrm{\Lambda }$ 被边长为 $\epsilon$ 的方体覆盖,如第 1144 页 17.2.2.2. 对任意参数 $q\in \mathbb{R},q\ne 1$ ,

$$\begin{array}{}\text{(17.48a)}& H_q\left(\epsilon \right)=\frac{1}{1-q}\ln \sum _{i=1}^{n\left(\epsilon \right)}{p}_i{\left(\epsilon \right)}^q,\text{ 其中 }{p}_i\left(\epsilon \right)=\mu \left(Q_i\left(\epsilon \right)\right)\end{array}$$

称为关于覆盖 $Q_1\left(\epsilon \right),\cdots ,Q_{n\left(\epsilon \right)}\left(\epsilon \right)$ 的 $q$ 级广义熵.

如果极限

$$\begin{array}{}\text{(17.48b)}& d_q=-\underset{\epsilon \to 0}{lim}\frac{H_q\left(\epsilon \right)}{\ln \epsilon }\end{array}$$

存在,称其为 $q$ 阶瑞尼(Rényi) 维数.

特殊情形下的瑞尼维数

$$\begin{array}{}\text{(17.49a)}& \text{a)}q=0:d_0=d_{\mathrm{C}}\left(\mathrm{supp}\mu \right)\text{.}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(17.49b)}& \text{b)}q=1:d_1\text{:=}\underset{q\to 1}{lim}{d}_q=d_{\mathrm{I}}\left(\mu \right)\text{.}\end{array}$$

**c) $q\ast \ast =2:d_2=d_{\mathrm{K}}$ .(17.49c)

5. 李雅普诺夫维数

设 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 是 $M\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 上的光滑动力系统, $\mathrm{\Lambda }$ 为一个吸引子 (或不变集), $\mu$ 为支撑在 $\mathrm{\Lambda }$ 上不变的遍历概率测度. 设 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_n$ 为关于 $\mu$ 的李雅普诺夫指数, $k$ 为满足 $\sum _{i=1}^k{\lambda }_i\ge 0$ 及 $\sum _{i=1}^{k+1}{\lambda }_i<0$ 的最大指标,称

$$\begin{array}{}\text{(17.50)}& d_{\mathrm{L}}\left(\mu \right)=k+\frac{\sum _{i=1}^k{\lambda }_i}{\left|{\lambda }_{k+1}\right|}\end{array}$$

为测度 $\mu$ 的李雅普诺夫维数.

如果 $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\ge 0$ ,则 $d_{\mathrm{L}}\left(\mu \right)=n$ ; 如果 ${\lambda }_1<0$ ,则 $d_{\mathrm{L}}\left(\mu \right)=0$ .

列炯皮亚 (Ledrappier) 定理 设 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 是 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 上离散系统 (17.3), 其中 $\phi$ 是 $M$ 上 $C^2$ 映射, $\mu$ 是支撑在吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 上不变的遍历概率测度,则$d_{\mathrm{H}}\left(\mu \right)\le d_{\mathrm{L}}\left(\mu \right).$

$◼\mathbf{A}$: 设 光滑系统 $\left\{{\phi }^t\right\}$ 的吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 被 $N_{\epsilon }$ 个边长为 $\epsilon$ 的方形覆盖, ${\sigma }_1>1>{\sigma }_2$ 为 $D\phi$ 的奇异值. 该吸引子的 $d_{\mathrm{B}}$ 维体积 $m_{d_{\mathrm{B}}}\simeq N_{\epsilon }\cdot {\epsilon }^{d_{\mathrm{B}}}$ . 每个边长为 $\epsilon$ 的方形被 $\phi$ 映射成边长大约分别为 ${\sigma }_1\epsilon$ 和 ${\sigma }_2\epsilon$ 的平行四边形. 若将覆盖取作边长为 ${\sigma }_2\epsilon$ 的菱形,则有 $N_{{\sigma }_2\epsilon }\simeq N_{\epsilon }\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}$ . 由关系式 $N_{\epsilon }{\epsilon }^{d_{\mathrm{B}}}\simeq N_{{\sigma }_2\epsilon }{\left(\epsilon {\sigma }_2\right)}^{d_{\mathrm{B}}}$ ,可直接得到

$$\begin{array}{}\text{(17.51)}& d_{\mathrm{B}}\simeq 1-\frac{\ln {\sigma }_1}{\ln {\sigma }_2}=1+\frac{{\lambda }_1}{\left|{\lambda }_2\right|}.\end{array}$$

李雅普诺夫维数公式即来自于这一启发式的估计.

| $\mathbf{B}$ : 对埃农系统 (17.6) 取 $a=1.4,b=0.3$ . 则 (17.6) 有吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ (称为埃农吸引子),该吸引子有较复杂的结构. 数值上计算可得盒维数 $d_{\mathrm{B}}\simeq 1.26$ . 可证 $\mathrm{\Lambda }$ 上支撑一个 SRB 测度. 设李雅普诺夫指数分别为 ${\lambda }_1$ 和 ${\lambda }_2$ ,则有 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=\ln \left|detD\phi \left(x\right)\right|=$ $\ln b=\ln 0.3\simeq -1.204$ . 数值上计可得 ${\lambda }_1\simeq 0.42$ ,从而 ${\lambda }_2\simeq -1.62$ ,因此

$$\begin{array}{}\text{(17.52)}& d_{\mathrm{L}}\left(\mu \right)\simeq 1+\frac{0.42}{1.62}\simeq 1.26.\end{array}$$

17.2.4.3 来自杜阿迪和厄斯特勒的局部豪斯多夫维数

设 ${\left\{{\phi }_t\right\}}_{t\in \gamma }$ 是 $M\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的光滑动力系统, $\mathrm{\Lambda }$ 是一个紧的不变集合. 对任意取定 $t_0\ge 0$ ,令 $\mathrm{\Phi }={\phi }^{t_0}$ .

杜阿迪 (Douady)-厄斯特勒定理 (Desterlé) 设 ${\sigma }_1\left(x\right)\ge \cdots \ge {\sigma }_n\left(x\right)$ 为 $D\mathrm{\Phi }\left(x\right)$ 的奇异值,将 $d\in (0,n]$ 记作 $d=d_0+s$ ,其中 $d_0\in \{0,1,\cdots ,n-1\},s\in$ $\left[0,1\right]$ . 如果 $\underset{x\in \mathrm{\Lambda }}{sup}\left[{\sigma }_1\left(x\right){\sigma }_2\left(x\right)\cdots {\sigma }_{d_0}\left(x\right){\sigma }_{d_0+1}^s\left(x\right)\right]<1$ ,则 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)<d$ .

对微分方程的特别版本 设 ${\left\{{\phi }^t\right\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 为如 (17.1) 所述的流, $\mathrm{\Lambda }$ 为一个紧不变集合,对任意 $x\in \mathrm{\Lambda },{\alpha }_1\left(x\right)\ge \cdots \ge {\alpha }_n\left(x\right)$ 为对称的雅可比矩阵在该点的特征值. 如果将 $d\in (0,n]$ 记作 $d=d_0+s$ ,其中 $d_0\in \{0,\cdots ,n-1\},s\in \left[0,1\right]$ ,且有 $\underset{x\in \mathrm{\Lambda }}{sup}\left[{\alpha }_1\left(x\right)+\cdots +{\alpha }_{d_0}\left(x\right)+s{\alpha }_{d_0+1}\left(x\right)\right]<0$ 成立,则 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)<d$ ,称

$$\begin{array}{}\text{(17.53)}& d_{DO}=\{\begin{array}{ll}0,& {\alpha }_1\le 0,\\ sup\{d:0\le d\le n,{\alpha }_1\left(x\right)+\cdots +{\alpha }_{\left[d\right]}\left(x\right)& \\ +\left(d-\left[d\right]\right){\alpha }_{\left[d\right]+1}\left(x\right)\ge 0\},& \text{ 其他 }\end{array}\end{array}$$

为点 $x$ 处的厄斯特勒维数,其中 $\left[d\right]$ 表示 $d$ 的整数部分. 在微分方程情形的杜阿迪一厄斯特勒定理假设下,有 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)\le \underset{x\in \mathrm{\Lambda }}{sup}{d}_{DO}\left(x\right)$ .

对洛伦茨系统 (17.2),当 $\sigma =10,b=8/3,r=28$ 时,有一个吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ (称为洛伦茨吸引子),数值上计算其维数为 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)\approx 2.06$ (图 17.17 由 Mathematica 生成). 由杜阿迪-厄斯特勒定理,对任意 $b>1,\sigma >0$ 及 $r>0$ 可得如下估计:

$$\begin{array}{}\text{(17.54a)}& d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)\le 3-\frac{\sigma +b+1}{\kappa },\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(17.54b)}& \kappa =\frac{1}{2}\left[\sigma +b+\sqrt{{(\sigma -b)}^2+\left(\frac{b}{\sqrt{b-1}}+2\right)\sigma r}\right]\end{array}$$

17.2.4.4 吸引子的例子

$◼\mathbf{A}$: 包含稳定与不稳定流形横截交点的庞加莱映射的相关马蹄映射. 将单位方形 $M=\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ 沿一个坐标方向线性拉长,另一个坐标方向线性压缩, 将所得矩形在中间弯折 (图 17.18). 重复上述过程无穷多次, 可相应得到一列集合 $M\supset \phi \left(M\right)\supset \cdots$ ,令

$$\begin{array}{}\text{(17.55)}& \mathrm{\Lambda }=\bigcap _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^k\left(M\right)\end{array}$$

为关于 $\phi$ 的紧不变集合. 集合 $\mathrm{\Lambda }$ 吸引 $M$ 中所有点. 除去一点后, $\mathrm{\Lambda }$ 可局部看作 “直线 $\times$ 康托尔集”.

$◼\mathbf{B}$: 设 $\alpha \in \left(1,\frac{1}{2}\right),M=\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]$ 为单位方形. 称映射 $\phi :M\to M$ ,

$$\begin{array}{}\text{(17.56a)}& \phi \left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}\left(2x,\alpha y\right),& 0\le x\le \frac{1}{2},y\in \left[0,1\right],\\ \left(2x-1,\alpha y+\frac{1}{2}\right),& \frac{1}{2}<x\le 1,y\in \left[0,1\right]\end{array}\end{array}$$

为耗散的面包映射. 图 17.19 给出了面包映射的前两步迭代.

图中可看到 “千层酥” 结构. 集合 $\mathrm{\Lambda }=\bigcap _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^k\left(M\right)$ 在 $\phi$ 作用下不变且 $M$ 中所有点均可被 $\mathrm{\Lambda }$ 吸引,其豪斯多夫维数为

$$\begin{array}{}\text{(17.56b)}& d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)=1+\frac{\ln 2}{-\ln \alpha }.\end{array}$$

对系统 $\left\{{\phi }^k\right\}$ ,在 $M$ 上存在一个不同于勒贝格测度的不变测度 $\mu$ . 在导算子存在的点上,雅可比矩阵为 $D\phi \left(\left(x,y\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^k& 0\\ 0& {\alpha }^k\end{array}\right)$ . 因此该矩阵的奇异值为 ${\sigma }_1\left(k,\left(x,y\right)\right)=$ $2^k,{\sigma }_2\left(k,\left(x,y\right)\right)={\alpha }^k$ ,从而关于 $\mu$ 的李雅普诺夫指数分别为 ${\lambda }_1=\ln 2,{\lambda }_2=\ln \alpha$ , 进而可得李雅普诺夫维数

$$\begin{array}{}\text{(17.56c)}& d_{\mathrm{L}}\left(\mu \right)=1+\frac{\ln 2}{-\ln \alpha }=d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right).\end{array}$$

此时测度熵的佩辛熵公式成立, 即

$$\begin{array}{}\text{(17.56d)}& h_{\mu }=\sum _{{\lambda }_i>0}{\lambda }_i=\ln 2.\end{array}$$

$◼\mathbf{C}$: 设 $T$ 是局部坐标为 $\left(\mathrm{\Theta },x,y\right)$ 的实心环,如图 17.20(a) 所示.

映射 $\phi :T\to T$ 如下定义:

$$\begin{array}{}\text{(17.57)}& {\mathrm{\Theta }}_{k+1}=2{\mathrm{\Theta }}_k,\left(\begin{array}{c}{x}_{k+1}\\ y_{k+1}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\Theta }}_k\\ \sin {\mathrm{\Theta }}_k\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}{x}_k\\ y_k\end{array}\right)\left(k=0,1,\cdots \right),\end{array}$$

其中 $\alpha \in \left(0,1/2\right).\phi \left(T\right)\cap D\left(\mathrm{\Theta }\right)$ 及 ${\phi }^2\left(T\right)\cap D\left(\mathrm{\Theta }\right)$ 如 17.20(b) 和 17.20(c) 所示. 无穷交集 $\mathrm{\Lambda }=\bigcap _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^k\left(T\right)$ 称为螺线管. 吸引子 $\mathrm{\Lambda }$ 由沿长度方向的连续曲线组成,每根曲线在 $\mathrm{\Lambda }$ 中稠且是不稳定的,与这些曲线横截相交的 $\mathrm{\Lambda }$ 的横截面是一个康托尔集.

$\mathrm{\Lambda }$ 的豪斯多夫维数为 $d_{\mathrm{H}}\left(\mathrm{\Lambda }\right)=1-\frac{\ln 2}{\ln \alpha }.\mathrm{\Lambda }$ 有一个吸引邻域,更进一步地, $\mathrm{\Lambda }$ 是结构稳定的,即在 $\phi$ 的 $C^1$ 小扰动下,上述定性性质不变.

$◼\mathbf{D}$: 螺线管是一个双曲吸引子的例子.