2.4.1 特殊的分式线性函数 (反比)

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.45)}& y=\frac{a}{x}\end{array}$$

的图像为一等轴双曲线,渐近线为坐标轴 (图 2.16),间断点为 $x=0$ ,此时 $y=\pm \mathrm{\infty }$ . 若 $a>0$ ,函数在区间 $\left(-\mathrm{\infty },0\right)$ 上严格单调递减,函数值从 0 到 $-\mathrm{\infty }$ 变化; 函数在区间 $\left(0,+\mathrm{\infty }\right)$ 上也严格单调递减,函数值从 $+\mathrm{\infty }$ 到 0 上变化 (曲线位于一、三象限). 若 $a<0$ ,函数在区间 $\left(-\mathrm{\infty },0\right)$ 上严格单调递增,函数值从 0 到 $+\mathrm{\infty }$ 变化; 函数在区间 $\left(0,+\mathrm{\infty }\right)$ 上也严格单调递增,函数值从 $-\mathrm{\infty }$ 到 0 上变化 (虚曲线位于二、四象限). 当 $a>0$ 时,顶点 $A,B$ 分别为 $\left(\sqrt{a},\sqrt{a}\right)$ 和 $\left(-\sqrt{a},-\sqrt{a}\right)$ ; 当 $a<0$ 时,顶点 $A^{\prime },B^{\prime }$ 分别为 $\left(-\sqrt{\left|a\right|},\sqrt{\left|a\right|}\right)$ 和 $\left(\sqrt{\left|a\right|},-\sqrt{\left|a\right|}\right)$ . 函数无极值 (关于双曲线的更详细说明参见 271 页 3.5.2.9).