6.1.3 高阶导数

6.1.3.1 高阶导数的定义

$y^{'} = f^{'} (x)$ 的导数,即 ${(y^{'})}^{'}$ 或 $\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$ ,称为函数 $y = f (x)$ 的二阶导数,记为 $y^{''}, \ddot{y}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, f^{''} (x)$ 或 $\frac{d^{2} f (x)}{d x^{2}}$ . 类似地可定义高阶导数,函数 $y = f (x)$ 的 $n$ 阶导数记为

y^{(n)} = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x) = \frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}} (n = 0, 1, \dots; y^{(0)} (x) = f^{(0)} (x) = f (x)) .

(6.21)

6.1.3.2 初等函数的高阶导数

最简单的函数的 $n$ 阶导数见表 6.3 .

函数	$n$ 阶函数
$x^{m}$	$m (m - 1) (m - 2) \dots (m - n + 1) x^{m - n}$ (当 $m$ 为整数,且 $n > m$ 时, $n$ 阶导数为 0 $)$
$\ln x (x > 0)$	${(- 1)}^{n - 1} (n - 1)! \frac{1}{x^{n}}$
$\log_{a} x (x > 0)$	${(- 1)}^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{\ln a} \frac{1}{x^{n}}$
$e^{k x}$	$k^{n} e^{k x}$
$a^{x}$	${(\ln a)}^{n} a^{x}$
$a^{k x}$	${(k \ln a)}^{n} a^{k x}$
$\sin x$	$\sin (x + \frac{n π}{2})$
$\cos x$	$\cos (x + \frac{n π}{2})$
$\sin k x$	$k^{n} \sin (k x + \frac{n π}{2})$
$\cos k x$	$k^{n} \cos (k x + \frac{n π}{2})$
$\sinh x$	当 $n$ 为偶数时为 $\sinh x$ ,当 $n$ 为奇数时为 $\cosh x$
$\cosh x$	当 $n$ 为偶数时为 $\cosh x$ ,当 $n$ 为奇数时为 $\sinh x$

6.1.3.3 莱布尼茨公式

为了计算两个函数乘积的 $n$ 阶导数,可利用莱布尼茨公式

D^{n} (u v) = u D^{n} v + \frac{n}{1!} D u D^{n - 1} v + \frac{n (n - 1)}{2!} D^{2} u D^{n - 2} v + \dots

\begin{matrix} (6.22) & + \frac{n (n - 1) \dots (n - m + 1)}{m!} D^{m} u D^{n - m} v + \dots + D^{n} u v, \end{matrix}

其中 $D^{n} = \frac{d^{n}}{d x^{n}}$ . 若用 $D^{0} u, D^{0} v$ 分别代替 $u, v$ ,可得公式 (6.23),它的结构与二项式公式对应 (参见第 14 页 1.1.6.4):

\begin{matrix} (6.23) & D^{n} (u v) = \sum_{m = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) D^{m} u D^{n - m} v . \end{matrix}

$◼ A$ : $(x^{2} \cos$ : 若令 $v = x^{2}, u = \cos a x$ ,则 $u^{(k)} = a^{k} \cos (a x + k \frac{π}{2})$ , $v^{'} = 2 x, v^{''} = 2, v^{'''} = v^{(4)} = \dots = 0$ . 除了前三种情况外,其他的被加式均为 0,所以

{(u v)}^{(50)} = x^{2} a^{50} \cos (a x + 50 \frac{π}{2}) + \frac{50}{1} \cdot 2 x a^{49} \cos (a x + 49 \frac{π}{2})

+ \frac{50 \cdot 49}{1 \cdot 2} \cdot 2 a^{48} \cos (a x + 48 \frac{π}{2})

= a^{48} [(2450 - a^{2} x^{2}) \cos a x - 100 a x \sin a x] .

$◼ B$ : ${(x^{3} e^{x})}^{(6)} = (\begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array}) \cdot x^{3} e^{x} + (\begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array}) \cdot 3 x^{2} e^{x} + (\begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}) \cdot 6 x e^{x} + (\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) \cdot 6 e^{x} = e^{x} (x^{3} +$

$18 x^{2} + 90 x + 120)$ .

6.1.3.4 参数形式函数的高阶导数

若函数 $y = f (x)$ 的参数方程为 $x = x (t), y = y (t)$ ,则它的高阶导数 $(y^{''}, y^{'''}$ 等) 可由以下公式来计算:

\begin{matrix} (6.24) & \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}}{{\dot{x}}^{3}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{{\dot{x}}^{2} \overset{⃛}{y} - 3 \dot{x} \ddot{x} \ddot{y} + 3 \dot{y} {\ddot{x}}^{2} - \dot{x} \dot{y} \overset{⃛}{x}}{{\dot{x}}^{5}}, \dots \end{matrix}

其中 $\dot{y} (t) = \frac{d y}{d t}, \dot{x} (t) = \frac{d x}{d t}, \ddot{y} (t) = \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \ddot{x} (t) = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ 等表示关于参数 $t$ 的导数.

6.1.3.5 反函数的高阶导数

若 $y = φ (x)$ 是原函数 $y = f (x)$ 的反函数,则 $y = f (x)$ 与 $x = φ (y)$ 等价. 设 $φ^{'} (y) \neq 0$ ,函数 $f$ 的导数与反函数 $φ$ 的导数满足关系 (6.15),则对高阶导数 $(y^{''}, y^{'''})$ 等),有

\begin{matrix} (6.25) & \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{φ^{''} (y)}{{[φ^{'} (y)]}^{3}}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{3 {[φ^{''} (y)]}^{2} - φ^{'} (y) φ^{'''} (y)}{{[φ^{'} (y)]}^{5}}, \dots . \end{matrix}

6.1.3 高阶导数 ​

6.1.3.1 高阶导数的定义 ​

6.1.3.2 初等函数的高阶导数 ​

6.1.3.3 莱布尼茨公式 ​

6.1.3.4 参数形式函数的高阶导数 ​