12.6.2 无界算子的伴随

设 $X$ 和 $Y$ 是实赋范空间, $T$ 是定义在 (线性) 区域 $D\left(T\right)\subset X$ 取值在 $Y$ 中的 (不必有界的) 线性算子. 对于给定的 $g\in Y^{\ast }$ ,表达式 $g\left(Tx\right)$ 有意义,并且显然关于 $x$ 是线性的. 现在的问题是: 是否存在一个泛函 $f\in X^{\ast }$ 使得

$$\begin{array}{}\text{(12.182)}& f\left(x\right)=g\left(Tx\right),\mathrm{\forall }x\in D\left(T\right).\end{array}$$

设 $D^{\ast }\subset Y^{\ast }$ 是使得表达式 (12.182) 对于某个 $f\in X^{\ast }$ 成立的所有元 $g\in Y^{\ast }$ 的集合. 如果 $\overline{D\left(T\right)}=X$ ,则对于给定的泛函 $g$ ,泛函 $f$ 是唯一确定的. 因此借助 $f=T^{\ast }g$ 可以定义线性算子 $T^{\ast }$ ,其定义域为 $D\left(T^{\ast }\right)=D^{\ast }$ . 于是对于任意元 $x\in D\left(T\right),g\in D\left(T^{\ast }\right)$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(12.183)}& g\left(Tx\right)=\left(T^{\ast }g\right)\left(x\right).\end{array}$$

算子 $T^{\ast }$ 总是闭的,称作 $T$ 的伴随. 上述伴随算子定义过程的合理性源于如下事实: $D\left(T^{\ast }\right)=Y^{\ast }$ 成立当且仅当 $T$ 在 $D\left(T\right)$ 上有界. 在这种情形下, $T^{\ast }\in$ $B\left(Y^{\ast },X^{\ast }\right)$ ,并且 $\Vert \begin{array}{c}{T}^{\ast }\end{array}\Vert =\parallel T\parallel$ .