1.4.3 线性不等式和二次不等式的解

1.4.3.1 概述

可通过逐步变换成等价不等式求不等式的解. 与求方程的解类似, 不等式两边可同时加上相同的式子; 从形式上, 被加数从不等式的一边移到另一边, 符号发生改变. 而且可在不等式的两边同时乘以或除以一个非零式, 其中, 当式子为正值时, 不等号的方向不变, 反之, 若为负值, 则不等号的方向改变. 一次不等式始终可以变换为形式

$$\begin{array}{}\text{(1.122)}& ax>b\text{.}\end{array}$$

二次不等式的最简形式为

$$\begin{array}{}\text{(1.123a)}& x^2>m\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.123b)}& x^2<m\end{array}$$

且在一般情形下, 形式为

$$\begin{array}{}\text{(1.124a)}& a{x}^2+bx+c>0\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.124b)}& a{x}^2+bx+c<0.\end{array}$$

1.4.3.2 线性不等式

一次线性不等式 (1.122) 的解为

$$\begin{array}{}\text{(1.125a)}& \text{当}a>0\text{时,}x>\frac{b}{a}\end{array}$$

以及

$$\begin{array}{}\text{(1.125b)}& \text{当}a<0\text{时,}x<\frac{b}{a}\text{.}\end{array}$$

If $5x+3<8x+1,5x-8x<1-3,-3x<-2,x>\frac{2}{3}$ .

1.4.3.3 二次不等式

形如

$$\begin{array}{}\text{(1.126a)}& x^2>m\end{array}$$

和

$$\begin{array}{}\text{(1.126b)}& x^2<m\end{array}$$

的二次不等式, 其解为

**a) $x^2\ast \ast >m$ :

当 $m\ge 0$ 时,其解为 $x>\sqrt{m}$ 和 $x<-\sqrt{m}\left(\left|x\right|>\sqrt{m}\right)$ ;(1.127a)

当 $m<0$ 时,对任意 $x$ ,不等式显然成立.(1.127b)

**b) $x^2\ast \ast <m$ :

当 $m>0$ 时,其解为 $-\sqrt{m}<x<\sqrt{m}\left(\left|x\right|<\sqrt{m}\right)$ ;(1.128a)

当 $m\le 0$ 时,不等式无解. (1.128b)

1.4.3.4 二次不等式的一般情形

$$\begin{array}{}\text{(1.129a)}& a{x}^2+bx+c>0\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.129b)}& a{x}^2+bx+c<0.\end{array}$$

不等式两边先除以 $a$ . 若 $a<0$ ,则不等号的方向改变,但无论何种情形,都可以归为形式

$$\begin{array}{}\text{(1.129c)}& x^2+px+q<0\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.129d)}& x^2+px+q>0.\end{array}$$

配方可得

$$\begin{array}{}\text{(1.129e)}& {(x+\frac{p}{2})}^2<{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.129f)}& {(x+\frac{p}{2})}^2>{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q.\end{array}$$

用 $z$ 替换 $x+\frac{p}{2}$ ,用 $m$ 替换 ${\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q$ ,可得不等式

$$\begin{array}{}\text{(1.130a)}& z^2<m\end{array}$$

或

$$\begin{array}{}\text{(1.130b)}& z^2>m\end{array}$$

解上述不等式可得 $x$ 值.

$◼\mathbf{A}$: $-2x^2+14x-20>0,x^2-7x+10<0,{(x-\frac{7}{2})}^2<\frac{9}{4},-\frac{3}{2}<x-\frac{7}{2}<$ $\frac{3}{2},-\frac{3}{2}+\frac{7}{2}<x<\frac{3}{2}+\frac{7}{2}$ .

其解为 $2<x<5$ .

$◼\mathbf{B}$: $x^2+6x+15>0,{(x+3)}^2>-6$ . 不等式恒成立.

$◼\mathbf{C}$: $-2x^2+14x-20<0,{(x-\frac{7}{2})}^2>\frac{9}{4},x-\frac{7}{2}>\frac{3}{2}$ 和 $x-\frac{7}{2}<-\frac{3}{2}$ .

其解为 $x>5$ 和 $x<2$ .