12.7.5 紧自伴算子

1. 本征值

希尔伯特空间 $H$ 中的紧自伴算子 $T\ne 0$ 至少有一个非零本征值. 更确切地说, $T$ 总有本征值 $\lambda ,\left|\lambda \right|=\parallel T\parallel .T$ 的本征值集至多是可数的.

任意紧自伴算子 $T$ 具有表达式 $T=\sum _k{\lambda }_k{P}_{{\lambda }_k}$ ,这里 ${\lambda }_k$ 是 $T$ 的不同的本征值,而 $P_{\lambda }$ 表示本征子空间 $H_{\lambda }$ 上的投影. 在这种情形下, $T$ 是可对角化的. 据此可知对于每个 $x\in H$ ,有 $Tx=\sum _k{\lambda }_k\left(x,e_k\right)e_k$ ,这里 $\left\{e_k\right\}$ 是 $T$ 的本征向量的正交规范系. 如果 $\lambda \notin \sigma \left(T\right)$ ,并且 $y\in H$ ,那么方程 $\left(\lambda I-T\right)x=y$ 的解可以表示成$x=R_{\lambda }\left(T\right)y=\sum _k\frac{1}{\lambda -{\lambda }_k}\left(y,e_k\right)e_k.$

2. 希尔伯特-施密特定理

如果 $T$ 是可分希尔伯特空间 $H$ 中的紧自伴算子,那么存在由 $T$ 的本征向量组成的基. 所谓谱 (映射) 定理 (见 [12.9], [12.11], [12.13], [12.15], [12.16], [12.21]) 可以看作希尔伯特-施密特定理在自伴 (有界或无界) 算子非紧情形的推广.