13.4.2 纯旋场或无散场

纯旋场 (pure rotation (或 curl) field) 或螺线管场 (solenoidal field) 是一个向量场 ${\overrightarrow{V}}_2$ ,其散度处处为零; 这个场是无源的. 用 $\overrightarrow{w}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 表示旋度密度 (rotation density), 则有

$$\begin{array}{}\text{(13.130a)}& \mathrm{div}{\overrightarrow{V}}_2\equiv 0,\mathrm{rot}{\overrightarrow{V}}_2=\overrightarrow{w}\left(\overrightarrow{r}\right).\end{array}$$

旋度密度 $\overrightarrow{w}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 不是任意的; 它必须满足方程 $\mathrm{div}\overrightarrow{w}=0$ . 在下述要求下

$$\begin{array}{}\text{(13.130b)}& {\overrightarrow{V}}_2\left(\overrightarrow{r}\right)=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right),\mathrm{div}\overrightarrow{A}=0,\text{ 即 }\mathrm{rot}\mathrm{rot}\overrightarrow{A}=\overrightarrow{w},\end{array}$$

根据 (13.97) 即得

$$\begin{array}{}\text{(13.130c)}& \mathrm{grad}\mathrm{div}\overrightarrow{A}-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}=\overrightarrow{w},\text{ 即 }\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}=-\overrightarrow{w}.\end{array}$$

因而,正如无旋场 ${\overrightarrow{V}}_1$ 的位势 $U$ 一样, $\overrightarrow{A}\left(\overrightarrow{r}\right)$ 形式地满足泊松微分方程 (参见第 951 页 (13.135a)), 并且这就是为什么它被称为向量位势 (vector potential). 对于每个点 $P$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(13.130d)}& {\overrightarrow{V}}_2=\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\text{,其中 }\overrightarrow{A}=\frac{1}{4\pi }\iiint \frac{\overrightarrow{w}\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)}{|\overrightarrow{r}-\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)|}\mathrm{d}v\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right).\end{array}$$

$\overrightarrow{r}$ 如同 (13.129b) 中的含义; 上述积分是展布在全空间上的.