13.2.4 向量场的散度

13.2.4.1 散度的定义

对于一个向量场 $\vec{V} (\vec{r})$ 可以指定一个标量场,它被称为该向量场的散度 (divergence). 散度被定义为向量场在点 $\vec{r}$ 处的空间导数:

\begin{matrix} (13.48) & div \vec{V} = lim_{V \to 0} \frac{\oint_{\sum} \vec{V} \cdot d \vec{S}}{V} . \end{matrix}

如果向量场 $\vec{V}$ 是一个流场 (stream field),其散度即为流体的输出或源,因为它给出在单位体积、单位时间内流经向量场 $\vec{V}$ 所考虑点处的流体的量. 在 $div \vec{V} > 0$ 时, 该点被称为源 (source),在 $div \vec{V} < 0$ 时,该点被称为汇 (sink).

13.2.4.2 不同坐标系中的散度

1. 笛卡儿坐标系中的散度

\begin{matrix} (13.49a) & div \vec{V} = \frac{\partial V_{x}}{\partial x} + \frac{\partial V_{y}}{\partial y} + \frac{\partial V_{z}}{\partial z}, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (13.49b) & \vec{V} (x, y, z) = V_{x} \vec{i} + V_{y} \vec{j} + V_{z} \vec{k} . \end{matrix}

标量场 $div \vec{V}$ 可以被表示为梯度算子 $\nabla$ 与向量 $\vec{V}$ 的点积

\begin{matrix} (13.49c) & div \vec{V} = \nabla \cdot \vec{V} \end{matrix}

并且它是平移和旋转不变的, 即是标量不变量 (参见第 379 页 4.3.3.2).

2. 柱面坐标系中的散度

\begin{matrix} (13.50a) & div \vec{V} = \frac{1}{ρ} \frac{\partial (ρ V_{ρ})}{\partial ρ} + \frac{1}{ρ} \frac{\partial V_{φ}}{\partial φ} + \frac{\partial V_{z}}{\partial z}, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (13.50b) & \vec{V} (ρ, φ, z) = V_{ρ} {\vec{e}}_{ρ} + V_{φ} {\vec{e}}_{φ} + V_{z} {\vec{e}}_{z} . \end{matrix}

3. 球面坐标系中的散度

\begin{matrix} (13.51a) & div \vec{V} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial (r^{2} V_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r \sin ϑ} \frac{\partial (\sin ϑ V_{ϑ})}{\partial ϑ} + \frac{1}{r \sin ϑ} \frac{\partial V_{φ}}{\partial φ}, \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (13.51b) & \vec{V} (r, ϑ, φ) = V_{r} {\vec{e}}_{r} + V_{ϑ} {\vec{e}}_{ϑ} + V_{φ} {\vec{e}}_{φ} . \end{matrix}

4. 一般直角坐标系中的散度

div \vec{V} = \frac{1}{D} {\frac{\partial}{\partial ξ} (| \frac{\partial \vec{r}}{\partial η} | | \frac{\partial \vec{r}}{\partial ζ} | V_{ξ}) + \frac{\partial}{\partial η} (| \frac{\partial \vec{r}}{\partial ζ} | | \frac{\partial \vec{r}}{\partial ξ} | V_{η}) + \frac{\partial}{\partial ζ} (| \frac{\partial \vec{r}}{\partial ξ} | | \frac{\partial \vec{r}}{\partial η} | V_{ζ})},

(13.52a)

其中

\begin{matrix} (13.52b) & \vec{r} (ξ, η, ζ) = x (ξ, η, ζ) \vec{i} + y (ξ, η, ζ) \vec{j} + z (ξ, η, ζ) \vec{k}, \end{matrix}

\begin{matrix} (13.52c) & D = | (\frac{\partial \vec{r}}{\partial ξ} \frac{\partial \vec{r}}{\partial η} \frac{\partial \vec{r}}{\partial ζ}) | = | \frac{\partial \vec{r}}{\partial ξ} | \cdot | \frac{\partial \vec{r}}{\partial η} | \cdot | \frac{\partial \vec{r}}{\partial ζ} |, \end{matrix}

\begin{matrix} (13.52d) & \vec{V} (ξ, η, ζ) = V_{ξ} {\vec{e}}_{ξ} + V_{η} {\vec{e}}_{η} + V_{ζ} {\vec{e}}_{ζ} . \end{matrix}

13.2.4.3 散度的运算法则

\begin{matrix} (13.53) & div \vec{c} = 0, div ({\vec{V}}_{1} + {\vec{V}}_{2}) = div {\vec{V}}_{1} + div {\vec{V}}_{2}, div (c \vec{V}) = c div \vec{V} . \end{matrix}

\begin{matrix} (13.54) & div (U \vec{V}) = U div \vec{V} + \vec{V} \cdot grad U (特别地, div (r \vec{c}) = \frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{r}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (13.55) & div ({\vec{V}}_{1} \times {\vec{V}}_{2}) = {\vec{V}}_{2} \cdot rot {\vec{V}}_{1} - {\vec{V}}_{1} \cdot rot {\vec{V}}_{2} . \end{matrix}

13.2.4.4 中心场的散度

\begin{matrix} (13.56) & div \vec{r} = 3, div φ (r) \vec{r} = 3 φ (r) + r φ^{'} (r) . \end{matrix}

13.2.4 向量场的散度 ​

13.2.4.1 散度的定义 ​

13.2.4.2 不同坐标系中的散度 ​

1. 笛卡儿坐标系中的散度 ​

2. 柱面坐标系中的散度 ​

3. 球面坐标系中的散度 ​

4. 一般直角坐标系中的散度 ​

13.2.4.3 散度的运算法则 ​

13.2.4.4 中心场的散度 ​