5.6.1 定义

设 $\mathrm{\Omega }$ 是运算符号的集合,它被划分为两两不相交的子集 ${\mathrm{\Omega }}_n,n\in \mathbb{N}.{\mathrm{\Omega }}_0$ 含常数, ${\mathrm{\Omega }}_n,n>0$ ,含 $n$ 重运算符号. 族 ${\left({\mathrm{\Omega }}_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ 称为型或标志. 如果 $A$ 是一个集合,并且对于每个 $n$ 重运算符号 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}_n$ 指派一个 $A$ 中的 $n$ 重运算 ${\omega }^A$ ,那么 $A=\left(A,\left\{{\omega }^A\mid \omega \in \mathrm{\Omega }\right\}\right)$ 称为 $\mathrm{\Omega }$ 代数或型 (或标志) 为 $\mathrm{\Omega }$ 的代数.

如果 $\mathrm{\Omega }$ 是有限的, $\mathrm{\Omega }=\left\{{\omega }_1,\cdots ,{\omega }_k\right\}$ ,那么也可以将 $A$ 记作 $A=\{A,{\omega }_1^A,\cdots$ , ${\omega }_k^A\}$ .

如果将环 (参见第 483 页 5.3.7) 考虑为一个 $\mathrm{\Omega }$ 代数,那么 $\mathrm{\Omega }$ 分拆为 ${\mathrm{\Omega }}_0=$ $\left\{{\omega }_1\right\},{\mathrm{\Omega }}_1=\left\{{\omega }_2\right\},{\mathrm{\Omega }}_2=\left\{{\omega }_3,{\omega }_4\right\}$ ,这里对运算符号 ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,{\omega }_4$ 指派常数 0,取加法逆、加法和乘法.

设 $A$ 和 $B$ 是 $\mathrm{\Omega }$ 代数. $B$ 称为 $A$ 的 $\mathrm{\Omega }$ 子代数,如果 $B\subseteq A$ 并且 ${\omega }^B$ 是运算 ${\omega }^A\left(\omega \in \mathrm{\Omega }\right)$ 限制在子集 $B$ 上的运算.