8.1.6 超越函数的积分

8.1.6.1 指数函数的积分

形如

$$\begin{array}{}\text{(8.36a)}& \int R\left({\mathrm{e}}^{mx},{\mathrm{e}}^{nx},\cdots ,{\mathrm{e}}^{px}\right)\mathrm{d}x\end{array}$$

的指数函数的积分可以化简成有理函数的积分,其中 $m,n,\cdots ,p$ 为有理数. 计算该积分需要作两个代换:

(1) 令 $t={\mathrm{e}}^x$ ,有积分

$$\begin{array}{}\text{(8.36b)}& \int \frac{1}{t}R\left(t^m,t^n,\cdots ,t^p\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$

(2) 令 $z=\sqrt[r]{t}$ ,其中 $r$ 是分数 $m,n,\cdots ,p$ 的分母的最小公倍数,可以将其化为有理函数积分.

8.1.6.2 双曲函数的积分

双曲函数的积分,即被积函数含有 $\sinh x,\cosh x,\tanh x,\coth x$ 的积分,若双曲函数能用相应的指数函数来代替, 则可利用指数函数的积分来计算. 对于最常见的积分 $\int {\sinh }^{n}x\mathrm{d}x,\int {\cosh }^{n}x\mathrm{d}x,\int {\sinh }^{n}x{\cosh }^{m}x\mathrm{d}x$ ,可用与三角函数积分类似的方法进行计算 (参见第 654 页 8.1.5).

8.1.6.3 分部积分的应用

若被积函数为对数函数、反三角函数、反双曲函数、 $x^m$ 与 $\ln x$ 、 ${\mathrm{e}}^{ax}$ 、 $\sin ax$ 、 $\cos ax$ 及其反函数的乘积,则可利用一次或多次分部积分进行计算.

有些情况下反复分部积分会得到与原积分相同类型的积分, 此时必须解关于该表达式的代数方程. 例如,对于积分 $\int {\mathrm{e}}^{ax}\cos bx\mathrm{d}x,\int {\mathrm{e}}^{ax}\sin bx\mathrm{d}x$ ,可利用这种方法计算, 要用两次分部积分. 不论指数函数还是三角函数, 在上述两步中都要根据因子 $u$ 选择相同类型的函数.

对于形如 $\int P\left(x\right){\mathrm{e}}^{ax}\mathrm{d}x,\int P\left(x\right)\sin bx\mathrm{d}x$ 和 $\int P\left(x\right)\cos bx\mathrm{d}x$ 的积分,其中 $P\left(x\right)$ 为多项式,也可用分部积分来计算. (令 $u=P\left(x\right)$ ,在每一步多项式都会降次.)

8.1.6.4 超越函数的积分

1382 页的表 21.7 中有很多超越函数的积分.