7.1.1 数列的性质

7.1.1.1 数列的定义

按一定顺序排列的无穷多个数

$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 或简记为 ${a_{n}}, n = 1, 2, \dots$ (7.1)

称为无穷数列 (以后简称数列). 数列中的数称为数列的项, 在数列的项中, 相同的数可多次出现. 若按一定的形式法则即已知规则定义一个数列, 则该数列中的每一项能唯一确定. 通常存在通项 $a_{n}$ 的公式.

数列举例

$◼ A$ : $a_{n} = n : 1, 2, 3, 4, 5, \dots$ .

$◼ B$ : $a_{n} = 4 + 3 (n - 1) : 4, 7, 10, 13, 16, \dots$ .

$◼ C$ : $a_{n} = 3 {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} : 3, - \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, - \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \dots$ .

$◼ D$ : $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} : 1, - 1, 1, - 1, 1, \dots$ .

$◼ E$ : $a_{n} = 3 - \frac{1}{2^{n - 2}} : 1, 2, 2 \frac{1}{2}, 2 \frac{3}{4}, 2 \frac{7}{8}, \dots (2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4})$ .

$◼ F$ : $a_{n} = 3 \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 10^{- \frac{n - 1}{2}}, n$ 为奇数;

$a_{n} = 3 \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 10^{- \frac{n}{2} + 1}, n$ 为偶数.

$a_{n} : 3; 4; 3.3; 3.4; 3.33; 3.34; 3.333; 3.334; \dots$ .

$◼ G$ : $a_{n} = \frac{1}{n} : 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ .

$◼ H$ : $a_{n} = {(- 1)}^{n + 1} n : 1, - 2, 3, - 4, 5, - 6, \dots$ .

$◼ I$ : $a_{n} = - \frac{n + 1}{2}, n$ 为奇数; $a_{n} = 0, n$ 为偶数.

$a_{n} : - 1, 0, - 2, 0, - 3, 0, - 4, 0, \dots .$

$◼ J$ : $a_{n} = 3 - \frac{1}{2^{\frac{n}{2} - \frac{3}{2}}}, n$ 为奇数; $a_{n} = 13 - \frac{1}{2^{\frac{n}{2} - 2}}, n$ 为偶数.

$a_{n} : 1, 11, 2, 12, 2 \frac{1}{2}, 12 \frac{1}{2}, 2 \frac{3}{4}, 12 \frac{3}{4}, \dots .$

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 称为单调递增数列,若

\begin{matrix} (7.2) & a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq \dots \leq a_{n} \leq \dots; \end{matrix}

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 称为单调递减数列,若

\begin{matrix} (7.3) & a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq \dots \geq a_{n} \geq \dots . \end{matrix}

若 (7.2), (7.3) 中的等号恒不成立, 则相应的数列称为严格单调递增数列或严格单调递减数列.

单调数列举例

工在数列 $A$ 到 $J$ 中,数列 $A, B, E$ 严格单调递增.

数列 ${a_{n}}$ 称为有界数列,若对某 $K > 0$ ,有各项

\begin{matrix} (7.4) & | a_{n} | < K \end{matrix}

若这样的 $K$ 不存在,则数列称为无界数列.

在数列 $A$ 到 $J$ 中,数列 $C$ 以 $K = 4$ 为界,数列 $D$ 以 $K = 2$ 为界,数列 $E$ 以 $K = 3$ 为界,数列 $F$ 以 $K = 5$ 为界,数列 $G$ 以 $K = 2$ 为界,数列 $J$ 以 $K = 13$ 为界.