4.1.2 方阵

1. 定义

方阵有相同的行数和列数,即 $m=n$ :

$$\begin{array}{}\text{(4.6)}& \mathbf{A}={\mathbf{A}}_{(n,n)}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right).\end{array}$$

矩阵 $\mathbf{A}$ 从左上角到右下角的对角线上的元素称为(主) 对角元素. 将它们记作 $a_{11}$ , $a_{22},\cdots ,a_{nn}$ ,即它们是全部满足 $\mu =\nu$ 的元素 $a_{\mu \nu }$ .

2. 对角矩阵

方阵 $\mathbf{D}$ 称为对角矩阵,如果它的所有非对角元素全等于零: $a_{\mu \nu }=0$ (当 $\mu \ne \nu$ ):

$$\begin{array}{}\text{(4.7)}& \mathbf{D}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & \mathbf{0}& \\ & a_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & \mathbf{0}& & a_{nn}\end{array}\right).\end{array}$$

3. 标量矩阵

对角矩阵 $\mathbf{S}$ 称为标量矩阵,如果它的所有对角元素是相等的实数或复数 $c$ :

$$\begin{array}{}\text{(4.8)}& \mathbf{S}=\left(\begin{array}{cccc}c& 0& \cdots & 0\\ 0& c& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c\end{array}\right).\end{array}$$

4. 矩阵的迹

对于一个方阵, 矩阵的迹定义为它的主对角元素之和:

$$\begin{array}{}\text{(4.9)}& \mathrm{Tr}\left(\mathbf{A}\right)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum _{\mu =1}^n{a}_{\mu \mu }.\end{array}$$

5. 对称矩阵

如果方阵 $\mathbf{A}$ 等于自身的转置,则它是对称的:

$$\begin{array}{}\text{(4.10)}& \mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}.\end{array}$$

对于关于主对角线对称的位置上的元素有

$$\begin{array}{}\text{(4.11)}& a_{\mu \nu }=a_{\nu \mu }.\end{array}$$

6. 正规矩阵

正规矩阵满足等式

$$\begin{array}{}\text{(4.12)}& {\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\end{array}$$

(关于矩阵的积, 参见第 365 页 4.1.4).

7. 反对称或斜对称矩阵

反对称矩阵是具有性质

$$\begin{array}{}\text{(4.13a)}& \mathbf{A}=-{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

的方阵 $\mathbf{A}$ . 对于反对称矩阵的元素 $a_{\mu \nu }$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(4.13b)}& a_{\mu \nu }=-a_{\mu \nu },a_{\mu \mu }=0,\end{array}$$

所以反对称矩阵的迹为零:

$$\begin{array}{}\text{(4.13c)}& \mathrm{Tr}\left(\mathbf{A}\right)=0,\end{array}$$

关于主对角线对称的位置上的元素仅差一个符号.

每个方阵 $\mathbf{A}$ 可以分解为对称矩阵 ${\mathbf{A}}_{\mathrm{s}}$ 和反对称矩阵 ${\mathbf{A}}_{\mathrm{as}}$ 之和:

$$\begin{array}{}\text{(4.13d)}& \mathbf{A}={\mathbf{A}}_{\mathrm{s}}+{\mathbf{A}}_{\mathrm{as}}\text{,其中}{\mathbf{A}}_{\mathrm{s}}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right);{\mathbf{A}}_{\mathrm{as}}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)\text{.}\end{array}$$

8. 埃尔米特 (Hermitian) 矩阵或自共轭矩阵

埃尔米特矩阵是等于它自身的共轭转置矩阵的方阵 $\mathbf{A}$ :

$$\begin{array}{}\text{(4.14)}& \mathbf{A}={\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}.\end{array}$$

在实数域上, 对称矩阵与埃尔米特矩阵是相同的概念. 埃尔米特矩阵的行列式是实数.

9. 反埃尔米特矩阵或斜埃尔米特矩阵

反埃尔米特矩阵是等于其负共轭转置矩阵的方阵 $\mathbf{A}$ :

$$\begin{array}{}\text{(4.15a)}& \mathbf{A}=-{\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\mathrm{T}}=-{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}.\end{array}$$

对于反埃尔米特矩阵的元素 $a_{\mu \nu }$ 和迹,下列等式成立:

$$\begin{array}{}\text{(4.15b)}& a_{\mu \nu }=-a_{\mu \nu }^{\ast },a_{\mu \mu }=0;\mathrm{Tr}\left(\mathbf{A}\right)=0.\end{array}$$

每个方阵 $\mathbf{A}$ 可以分解为埃尔米特矩阵 ${\mathbf{A}}_{\mathrm{h}}$ 和反埃尔米特矩阵 ${\mathbf{A}}_{\mathrm{ah}}$ 之和:

$$\begin{array}{}\text{(4.15c)}& \mathbf{A}={\mathbf{A}}_{\mathrm{h}}+{\mathbf{A}}_{\mathrm{ah}}\text{,其中}{\mathbf{A}}_{\mathrm{h}}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\right);{\mathbf{A}}_{\mathrm{ah}}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}-{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\right)\text{.}\end{array}$$

10. 恒等矩阵 $\mathbf{I}$

恒等矩阵 $\mathbf{I}$ 是一个对角矩阵,它的每个对角元素等于 1,并且所有非对角元素都等于零:

$$\begin{array}{}\text{(4.16)}& \mathbf{I}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)=\left({\delta }_{\mu \nu }\right),\text{ 其中 }{\delta }_{\mu \nu }=\{\begin{array}{ll}0,& \mu \ne \nu ,\\ 1,& \mu =\nu .\end{array}\end{array}$$

记号 ${\delta }_{\mu \nu }$ 称作克罗内克符号.

11. 三角矩阵

(1)上三角矩阵 上三角矩阵 $\mathbf{U}$ 是一个方阵,它的所有位于主对角线之下的元素全等于零:

$$\begin{array}{}\text{(4.17)}& \mathbf{U}=\left(u_{\mu \nu }\right),\text{ 其中 }{u}_{\mu \nu }=0\left(\text{ 当 }\mu >\nu \right).\end{array}$$

(2)下三角矩阵 下三角矩阵 $\mathbf{L}$ 是一个方阵,它的所有位于主对角线之上的元素全等于零:

$$\begin{array}{}\text{(4.18)}& \mathbf{L}=\left(l_{\mu \nu }\right),\text{ 其中 }{l}_{\mu \nu }=0\left(\text{ 当 }\mu <\nu \right).\end{array}$$