15.2.1 拉普拉斯变换的性质

15.2.1.1 拉普拉斯变换、原始空间和像空间

1. 拉普拉斯变换的定义

设 $f\left(t\right)$ 为实变量 $t$ 的函数,若下述广义积分

$$\begin{array}{}\text{(15.5)}& \mathcal{L}\{f\left(t\right)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t=F\left(p\right)\end{array}$$

存在,则定义了复变量 $p$ 的函数 $F\left(p\right).f\left(t\right)$ 称为原函数, $F\left(p\right)$ 称为 $f\left(t\right)$ 的拉普拉斯变换. 在进一步讨论中,假定广义积分存在,如果在原始空间内,原函数 $f\left(t\right)$ 当 $t\ge 0$ 时分段光滑,且对于特定的常数 $K>0,\alpha >0$ ,当 $t\to \mathrm{\infty }$ 时, $\left|f\left(t\right)\right|\le K{\mathrm{e}}^{\alpha t}$ 成立. 变换 $F\left(p\right)$ 的定义域称为像空间.

在一些文献中, 拉普拉斯变换经常也以瓦格纳或拉普拉斯-卡森变换的形式

$$\begin{array}{}\text{(15.6)}& {\mathcal{L}}_W\{f\left(t\right)\}=p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t=pF\left(p\right)\end{array}$$

出现.

2. 收敛性

拉普拉斯积分 $\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}$ 在半平面 $\mathrm{Re}p>\alpha$ 内收敛(图 15.2). 变换 $F\left(p\right)$ 是解析函数, 具有性质:

(1) $\underset{\mathrm{Re}p\to \mathrm{\infty }}{lim}F\left(p\right)=0$ .(15.7a)

该性质是 $F\left(p\right)$ 成为变换的必要条件.

(2) 若原函数 $f\left(t\right)$ 的极限是有限数,即 $\underset{\begin{array}{c}t\to \mathrm{\infty }\\ \left(t\to 0\right)\end{array}}{lim}f\left(t\right)=A$ ,则

$$\begin{array}{}\text{(15.7b)}& \underset{\begin{array}{c}p\to 0\\ \left(p\to \mathrm{\infty }\right)\end{array}}{lim}pF\left(p\right)=A.\end{array}$$

(3)拉普拉斯变换的逆变换.

利用公式

$$\begin{array}{}\text{(15.8)}& {\mathcal{L}}^{-1}\{F\left(p\right)\}=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{c-\mathrm{i}\mathrm{\infty }}^{c+\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{pt}F\left(p\right)\mathrm{d}p=\{\begin{array}{ll}f\left(t\right),& t>0,\\ 0,& t<0\end{array}\end{array}$$

可由像函数得到原函数.

该复积分的积分路径是平行于虚轴的直线 $\mathrm{Re}p=c$ ,其中 $\mathrm{Re}p=c>\alpha$ . 若函数 $f\left(t\right)$ 在 $t=0$ 处有跳跃,即 $\underset{t\to +0}{lim}f\left(t\right)\ne 0$ ,则积分在该点处的值为 $\frac{1}{2}f\left(+0\right)$ .

15.2.1.2 拉普拉斯变换的运算规则

运算规则是从原始域内运算到变换空间内运算的映射.

此后, 原函数将用小写字母表示, 变换用相应的大写字母表示.

1. 加法或线性法则

只要变换存在, 函数线性组合的拉普拉斯变换是拉普拉斯变换式相同的线性组合,即对于常数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ,有

$$\mathcal{L}\left\{{\lambda }_1{f}_1\left(t\right)+{\lambda }_2{f}_2\left(t\right)+\cdots +{\lambda }_n{f}_n\left(t\right)\right\}={\lambda }_1{F}_1\left(p\right)+{\lambda }_2{F}_2\left(p\right)+\cdots +{\lambda }_n{F}_n\left(p\right).$$

(15.9)

2. 相似法则

$f\left(at\right)(a>0,a$ 为实数) 的拉普拉斯变换是原函数除以 $a$ ,且自变量为 $p/a$ 的

拉普拉斯变换:

$$\begin{array}{}\text{(15.10a)}& \mathcal{L}\{f\left(at\right)\}=\frac{1}{a}F\left(\frac{p}{a}\right)\left(a>0,a\text{ 为实数 }\right).\end{array}$$

类似地, 对于逆变换, 有

$$\begin{array}{}\text{(15.10b)}& {\mathcal{L}}^{-1}\{F\left(ap\right)\}=\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)\left(a>0\right).\end{array}$$

图 15.3 展示了相似法则在正弦函数中的一个应用.

$◼$ 确定 $f\left(t\right)=\sin \left(\omega t\right)$ 的拉普拉斯变换. 正弦函数的变换式为

$$\mathcal{L}\{\sin \left(t\right)\}=F\left(p\right)=1/\left(p^2+1\right).$$

运用相似法则, 可给出

$$\mathcal{L}\{\sin \left(\omega t\right)\}=\frac{1}{\omega }F\left(p/\omega \right)=\frac{1}{\omega }\frac{1}{{\left(p/\omega \right)}^2+1}=\frac{\omega }{p^2+{\omega }^2}.$$

3. 平移法则

(1)向右平移 原函数向右平移 $a\left(a>0\right)$ 个单位的拉普拉斯变换等于非移位原函数的拉普拉斯变换乘以因子 ${\mathrm{e}}^{-ap}$ :

$$\begin{array}{}\text{(15.11a)}& \mathcal{L}\{f\left(t-a\right)\}={\mathrm{e}}^{-ap}F\left(p\right).\end{array}$$

(2)向左平移 原函数向左平移 $a$ 个单位的拉普拉斯变换等于非移位函数的拉普拉斯变换与积分 ${\int }_0^{a}f\left(t\right){\mathrm{e}}^{-pt}\mathrm{d}t$ 之差乘以 ${\mathrm{e}}^{ap}$ :

$$\begin{array}{}\text{(15.11b)}& \mathcal{L}\{f\left(t+a\right)\}={\mathrm{e}}^{ap}\left[F\left(p\right)-{\int }_0^a{\mathrm{e}}^{-pt}f\left(t\right)\mathrm{d}t\right].\end{array}$$

图 15.4 和图 15.5 显示了余弦函数的向右平移和直线的向左平移.

4. 频移定理

原函数乘以 ${\mathrm{e}}^{-bt}$ 的拉普拉斯变换等于自变量为 $p+b$ 的拉普拉斯变换 $(b$ 是任意复数):

$$\begin{array}{}\text{(15.12)}& \mathcal{L}\left\{{\mathrm{e}}^{-bt}f\left(t\right)\right\}=F\left(p+b\right).\end{array}$$

5. 在原始空间内的微分

当 $t>0$ 时,若导数 $f^{\prime }\left(t\right),f^{\prime \prime }\left(t\right),\cdots ,f^{\left(n\right)}\left(t\right)$ 存在,且 $f\left(t\right)$ 最高阶导数的变换存在,则 $f\left(t\right)$ 的低阶导数和 $f\left(t\right)$ 也有变换,且

$$\begin{array}{}\text{(15.13)}& \begin{array}{l}\mathcal{L}\left\{f^{\prime }\left(t\right)\right\}=pF\left(p\right)-f\left(+0\right),\\ \mathcal{L}\left\{f^{\prime \prime }\left(t\right)\right\}=p^{2}F\left(p\right)-f\left(+0\right)p-f^{\prime }\left(+0\right),\\ \cdots \cdots \\ \mathcal{L}\left\{f^{\left(n\right)}\left(t\right)\right\}=p^{n}F\left(p\right)-f\left(+0\right)p^{n-1}-f^{\prime }\left(+0\right)p^{n-2}-\cdots \\ -f^{(n-2)}\left(+0\right)p-f^{(n-1)}\left(+0\right),\\ \text{ 其中 }{f}^{\left(v\right)}\left(+0\right)=\underset{t\to 0}{lim}{f}^{\left(v\right)}\left(t\right).\end{array}\}\end{array}$$

方程 (15.13) 给出了下述拉普拉斯积分表达式, 可用于逼近拉普拉斯积分:

$$\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}=\frac{f\left(+0\right)}{p}+\frac{f^{\prime }\left(+0\right)}{p^2}+\frac{f^{\prime \prime }\left(+0\right)}{p^3}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}\left(+0\right)}{p^{n-1}}+\frac{1}{p^n}\mathcal{L}\left\{f^{\left(n\right)}\left(t\right)\right\}.$$

(15.14)

6. 在像空间内的微分

$$\begin{array}{}\text{(15.15)}& \mathcal{L}\left\{t^{n}f\left(t\right)\right\}={(-1)}^n{F}^{\left(n\right)}\left(p\right).\end{array}$$

变换的 $n$ 阶导数等于原函数 $f\left(t\right)$ 的 ${(-t)}^n$ 倍的拉普拉斯变换:

$$\begin{array}{}\text{(15.16)}& \mathcal{L}\left\{{(-1)}^n{t}^{n}f\left(t\right)\right\}=F^{\left(n\right)}\left(p\right)\left(n=1,2,\cdots \right).\end{array}$$

7. 在原始空间内的积分

原函数积分的变换等于原函数的变换乘以 $1/p^n\left(n>0\right)$ :

$$\mathcal{L}\left\{{\int }_0^t\mathrm{d}{\tau }_1{\int }_0^{{\tau }_1}\mathrm{d}{\tau }_2\cdots {\int }_0^{{\tau }_{n-1}}f\left({\tau }_n\right)\mathrm{d}{\tau }_n\right\}$$$$\begin{array}{}\text{(15.17a)}& =\frac{1}{\left(n-1\right)!}\mathcal{L}\left\{{\int }_0^t{(t-\tau )}^{(n-1)}f\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau \right\}=\frac{1}{p^n}F\left(p\right).\end{array}$$

在单积分的特殊情况下, 有

$$\begin{array}{}\text{(15.17b)}& \mathcal{L}\left\{{\int }_0^{t}f\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau \right\}=\frac{1}{p}F\left(p\right)\end{array}$$

成立. 在原始空间内, 若初始值为 0 , 则微分和积分互逆.

8. 在像空间内的积分

$$\mathcal{L}\left\{\frac{f\left(t\right)}{t^n}\right\}={\int }_p^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{p}_1{\int }_{p_1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}{p}_2\cdots {\int }_{p_{n-1}}^{\mathrm{\infty }}F\left(p_n\right)\mathrm{d}{p}_n=\frac{1}{\left(n-1\right)!}{\int }_p^{\mathrm{\infty }}{(z-p)}^{n-1}F\left(z\right)\mathrm{d}z.$$

(15.18)

仅当 $f\left(t\right)/t^n$ 存在拉普拉斯变换时,该公式才成立. 为此,当 $t\to 0$ 时, $f{\left(x\right)}^{\mathrm{T}}$ 必须足够快地趋向于 0 . 积分路径可以是始于 $p$ 点、与实轴正半轴成锐角的任意射线.

9. 除法法则

在 (15.18) 中,对于 $n=1$ 的特殊情况,有

$$\begin{array}{}\text{(15.19)}& \mathcal{L}\left\{\frac{f\left(t\right)}{t}\right\}={\int }_p^{\mathrm{\infty }}F\left(z\right)\mathrm{d}z\end{array}$$

成立. 若积分 (15.19) 式存在,极限 $\underset{t\to 0}{lim}\frac{f\left(t\right)}{t}$ 也必须存在.

10. 对参数的微分和积分

$$\begin{array}{}\text{(15.20a)}& \mathcal{L}\left\{\frac{\partial f\left(t,\alpha \right)}{\partial \alpha }\right\}=\frac{\partial F\left(p,\alpha \right)}{\partial \alpha },\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.20b)}& \mathcal{L}\left\{{\int }_{{\alpha }_1}^{{\alpha }_2}f\left(t,\alpha \right)\mathrm{d}\alpha \right\}={\int }_{{\alpha }_1}^{{\alpha }_2}F\left(p,\alpha \right)\mathrm{d}\alpha .\end{array}$$

借助这些公式, 有时可根据已知积分计算拉普拉斯积分.

11. 卷积

(1) 在原始空间内的卷积 两个函数 $f_1\left(t\right)$ 和 $f_2\left(t\right)$ 的卷积是积分

$$\begin{array}{}\text{(15.21)}& f_1\ast f_2={\int }_0^t{f}_1\left(\tau \right)f_2\left(t-\tau \right)\mathrm{d}\tau .\end{array}$$

方程 (15.21) 也称为区间(0, t)上的单侧卷积. 傅里叶变换产生双侧卷积(区间 $\left(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\right)$ 上的卷积,参见第 1031 页 15.3.1.3,9.). 卷积 (15.21) 满足性质: a) 交换律: $f_1\ast f_2=f_2\ast f_1$ .(15.22a)b) 结合律: $\left(f_1\ast f_2\right)\ast f_3=f_1\ast \left(f_2\ast f_3\right)$ .(15.22b)c) 分配律: $\left(f_1+f_2\right)\ast f_3=f_1\ast f_3+f_2\ast f_3$ .(15.22c)在像域内, 一般的乘积对应于卷积:

$$\begin{array}{}\text{(15.23)}& \mathcal{L}\left\{f_1\ast f_2\right\}=F_1\left(p\right)\cdot F_2\left(p\right).\end{array}$$

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① 此处 $f\left(x\right)$ 应该是 $f\left(t\right)$ . ——译者注

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图 15.6 显示了两函数的卷积. 我们可运用卷积定理确定原函数:

a) 分解像函数

$$F\left(p\right)=F_1\left(p\right)\cdot F_2\left(p\right);$$

b) 确定变换 $F_1\left(p\right)$ 和 $F_2\left(p\right)$ 的原函数 $f_1\left(t\right)$ 和 $f_2\left(t\right)$ (根据表格);

c) 在原始空间中,结合 $F\left(p\right)$ ,由 $f_1\left(t\right)$ 和 $f_2\left(t\right)$ 的卷积确定原函数 $(f\left(t\right)=$ $f_1\left(t\right)\ast f_2\left(t\right))$ .

(2)在像空间内的卷积 (复卷积)

$$\begin{array}{}\text{(15.24)}& \mathcal{L}\left\{f_1\left(t\right)\cdot f_2\left(t\right)\right\}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{x_1-\mathrm{i}\mathrm{\infty }}^{x_1+\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{F}_1\left(z\right)\cdot F_2\left(p-z\right)\mathrm{d}z,\\ \frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{x_2-\mathrm{i}\mathrm{\infty }}^{x_2+\mathrm{i}\mathrm{\infty }}{F}_1\left(p-z\right)\cdot F_2\left(z\right)\mathrm{d}z.\end{array}\end{array}$$

积分路径为沿着与虚轴平行的直线. 在第一个积分中,必须选定 $x_1$ 和 $p$ ,使得 $z$ 位于 $\mathcal{L}\left\{f_1\right\}$ 的收敛半平面内,且 $p-z$ 位于 $\mathcal{L}\left\{f_2\right\}$ 的收敛半平面内. 对于第二个积分, 也有相应的要求.

15.2.1.3 特殊函数的变换

1. 阶梯函数

在 $t=t_0$ 处的单位跳跃称为阶梯函数 (图 15.7)(也可参见第 988 页 14.4.3.2, 3.); 也称为赫维赛德单位阶梯函数:

$$\begin{array}{}\text{(15.25)}& u\left(t-t_0\right)=\{\begin{array}{ll}1,& t>t_0,\\ 0,& t<t_0\end{array}\left(t_0>0\right).\end{array}$$

$◼\mathbf{A}$: $f\left(t\right)=u\left(t-t_0\right)\sin \omega t,F\left(p\right)={\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\frac{\omega \cos \omega t_0+p\sin \omega t_0}{p^2+{\omega }^2}$ . (图 15.8)

• $\mathbf{B}:f\left(t\right)=u\left(t-t_0\right)\sin \omega \left(t-t_0\right),F\left(p\right)={\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\frac{\omega }{p^2+{\omega }^2}$ . (图 15.9)

2. 矩形脉冲

高度为 1、宽度为 $T$ 的矩形脉冲 (图 15.10) 由两个阶梯函数以如下形式叠加而成.

$$\begin{array}{}\text{(15.26)}& u_T\left(t-t_0\right)=u\left(t-t_0\right)-u\left(t-t_0-T\right)=\{\begin{array}{ll}0,& t<t_0,\\ 1,& t_0<t<t_0+T,\\ 0,& t>t_0+T,\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.27)}& \mathcal{L}\left\{u_T\left(t-t_0\right)\right\}=\frac{{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\left(1-{\mathrm{e}}^{-Tp}\right)}{p}.\end{array}$$

3. 脉冲函数 (狄拉克 $\delta$ 函数)

(也可参见第 912 页 12.9.5.4) 脉冲函数 $\delta \left(t-t_0\right)$ 显然可解释为宽度是 $T$ 、高度是 $1/T$ 的矩形脉冲在点 $t=t_0$ 处的极限 (图 15.11):

$$\begin{array}{}\text{(15.28)}& \delta \left(t-t_0\right)=\underset{T\to 0}{lim}\frac{1}{T}\left[u\left(t-t_0\right)-u\left(t-t_0-T\right)\right].\end{array}$$

对于连续函数 $h\left(t\right)$ ,

$$\begin{array}{}\text{(15.29)}& {\int }_a^{b}h\left(t\right)\delta \left(t-t_0\right)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}h\left(t_0\right),& t_0\in \left(a,b\right),\\ 0,& t_0\notin \left(a,b\right).\end{array}\end{array}$$

比如

$$\begin{array}{}\text{(15.30)}& \delta \left(t-t_0\right)=\frac{\mathrm{d}u\left(t-t_0\right)}{\mathrm{d}t},\mathcal{L}\left\{\delta \left(t-t_0\right)\right\}={\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\left(t_0\ge 0\right).\end{array}$$

等关系式, 通常在广义函数论中进行研究 (参见第 912 页 12.9.5.3).

4. 分段可微函数

分段可微函数的变换可借助 $\delta$ 函数轻松确定: 若 $f\left(t\right)$ 是分段可微的,且在点 $t_v\left(v=1,2,\cdots ,n\right)$ 处有跳跃 $a_v$ ,则其一阶导数可表示为

$$\begin{array}{}\text{(15.31)}& \frac{\mathrm{d}f\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=f_s^{\prime }\left(t\right)+a_1\delta \left(t-t_1\right)+a_2\delta \left(t-t_2\right)+\cdots +a_n\delta \left(t-t_n\right),\end{array}$$

其中, $f_s^{\prime }\left(t\right)$ 是 $f\left(t\right)$ 的一般导数, $f_s^{\prime }\left(t\right)$ 也是可微的.

若跳跃首先出现在导数中, 则有类似的公式成立. 在这种方式下, 我们可以轻松确定由任意高度抛物线组成的曲线所对应函数的变换, 例如, 实证研究曲线. 当正式应用 (15.13) 时,在跳跃情况下,数值 $f\left(+0\right),f^{\prime }\left(+0\right),\cdots$ 应该用 0 代替.

$◼\mathbf{A}$:

$$f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}at+b,& 0<t<t_0,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\text{ (图 15.12); }$$$$f^{\prime }\left(t\right)=a{u}_{t_0}\left(t\right)+b\delta \left(t\right)-\left(a{t}_0+b\right)\delta \left(t-t_0\right);$$$$\mathcal{L}\left\{f^{\prime }\left(t\right)\right\}=\frac{a}{p}\left(1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\right)+b-\left(a{t}_0+b\right){\mathrm{e}}^{-t_{0}p};$$$$\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}=\frac{1}{p}\left[\frac{a}{p}+b-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\left(\frac{a}{p}+a{t}_0+b\right)\right].$$

$◼\mathbf{B}$:

$f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}t,& 0<t<t_0,\\ 2t_0-t,& t_0<t<2t_0,\left(\text{ 图 }15.13\right);\\ 0,& t>2t_0\end{array}$

$f^{\prime }\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 0<t<t_0,\\ -1,& t_0<t<2t_0,\left(\text{ 图 }15.14\right);\\ 0,& t>2t_0\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(t\right)=\delta \left(t\right)-\delta \left(t-t_0\right)-\delta \left(t-t_0\right)+\delta \left(t-2t_0\right);\mathcal{L}\left\{f^{\prime \prime }\left(t\right)\right\}=1-2{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}+{\mathrm{e}}^{-2t_{0}p};$

$$\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}=\frac{{(1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p})}^2}{p^2}.$$

$◼\mathbf{C}$:

$$f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}Et/t_0,& 0<t<t_0,\\ E,& t_0<t<T-t_0,\\ -E\left(t-T\right)/t_0,& T-t_0<t<T,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\text{(图 15.15);}$$$$f^{\prime }\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}E/t_0,& 0<t<t_0,\\ 0,& t_0<t<T-t_0\left(t>T\right),\\ -E/t_0,& T-t_0<t<T,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\text{ (图 15.16); }$$$$f^{\prime \prime }\left(t\right)=\frac{E}{t_0}\delta \left(t\right)-\frac{E}{t_0}\delta \left(t-t_0\right)-\frac{E}{t_0}\delta \left(t-T+t_0\right)+\frac{E}{t_0}\delta \left(t-T\right);$$$$\mathcal{L}\left\{f^{\prime \prime }\left(t\right)\right\}=\frac{E}{t_0}\left[1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}-{\mathrm{e}}^{-\left(T-t_0\right)p}+{\mathrm{e}}^{-Tp}\right];$$$$\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}=\frac{E}{t_0}\frac{\left(1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-\left(T-t_0\right)p}\right)}{p^2}.$$

$◼\mathbf{D}$:

$$f\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}t-t^2,& 0<t<1,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\text{ (图 15.17); }$$$$f^{\prime }\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}1-2t,& 0<t<1,\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}\text{ (图 15.18); }$$$$f^{\prime \prime }\left(t\right)=-2u_1\left(t\right)+\delta \left(t\right)+\delta \left(t-1\right);$$$$\mathcal{L}\left\{f^{\prime \prime }\left(t\right)\right\}=-\frac{2}{p}\left(1-{\mathrm{e}}^{-p}\right)+1+{\mathrm{e}}^{-p};\mathcal{L}\{f\left(t\right)\}=\frac{1+{\mathrm{e}}^{-p}}{p^2}-\frac{2\left(1-{\mathrm{e}}^{-p}\right)}{p^3}.$$

5. 周期函数

周期为 $T$ 的周期函数 $f^{\ast }\left(t\right)$ ,是函数 $f\left(t\right)$ 的周期延拓,其变换可由 $f\left(t\right)$ 的拉普拉斯变换乘以周期因子

$$\begin{array}{}\text{(15.32)}& {(1-{\mathrm{e}}^{-Tp})}^{-1}\end{array}$$

得到.

$◼\mathbf{A}$: 由例 B (见上例),以周期 $T=2t_0$ 把 $f\left(t\right)$ 周期延拓得到 $f^{\ast }\left(t\right)$ ,且

$$\mathcal{L}\left\{f^{\ast }\left(t\right)\right\}=\frac{{(1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p})}^2}{p^2}\cdot \frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-2t_{0}p}}=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}}{p^2\left(1+{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\right)}.$$

$◼\mathbf{B}$: 由例 C (见上例),以周期 $T$ 把 $f\left(t\right)$ 周期延拓得到 $f^{\ast }\left(t\right)$ ,且

$$\mathcal{L}\left\{f^{\ast }\left(t\right)\right\}=\frac{E\left(1-{\mathrm{e}}^{-t_{0}p}\right)\left(1-{\mathrm{e}}^{-\left(T-t_0\right)p}\right)}{t_0{p}^2\left(1-{\mathrm{e}}^{-Tp}\right)}.$$

15.2.1.4 狄拉克 $\delta$ 函数及其分布

在利用线性微分方程描述某些技术系统时,函数 $u\left(t\right)$ 和 $\delta \left(t\right)$ 经常作为扰动函数和输入函数出现,尽管第 1006 页 15.2.1.1,1. 要求的条件并不满足: $u\left(t\right)$ 是不连续的, $\delta \left(t\right)$ 不能在经典分析意义下进行定义.

通过引入所谓的广义函数(分布),提供了一种解决方法,从而可以使 $\delta \left(t\right)$ 作用到已知的连续实函数, 而且还可以保证其可微性. 分布的表示有很多方式, 最著名的方式之一是由施瓦兹引入的连续实线性泛函 (参见第 911 页 12.9.5). 傅里叶系数和傅里叶级数可与周期分布唯一联系, 类似于实函数 (参见第 633 页 7.4).

1. $\delta$ 函数的近似

类似于 (15.28) 式,脉冲函数 $\delta \left(t\right)$ 可用宽度为 $\epsilon$ 、高度为 $1/\epsilon \left(\epsilon >0\right)$ 的矩形脉冲近似:

$$\begin{array}{}\text{(15.33a)}& f\left(t,\epsilon \right)=\{\begin{array}{ll}1/\epsilon ,& \left|t\right|<\epsilon /2,\\ 0,& \left|t\right|\ge \epsilon /2.\end{array}\end{array}$$

更深入的 $\delta \left(t\right)$ 近似实例是误差曲线 (参见第 94 页 2.6.3) 和洛伦兹函数 (参见第 123 页 2.11.2):

$$\begin{array}{}\text{(15.33b)}& f\left(t,\epsilon \right)=\frac{1}{\epsilon \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2{\epsilon }^2}}\left(\epsilon >0\right),\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(15.33c)}& f\left(t,\epsilon \right)=\frac{\epsilon /\pi }{t^2+{\epsilon }^2}\left(\epsilon >0\right).\end{array}$$

这些函数具有共同的性质:

(1) ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(t,\epsilon \right)\mathrm{d}t=1$ .(15.34a)

(2) $f\left(-t,\epsilon \right)=f\left(t,\epsilon \right)$ ,即它们是偶函数.(15.34b)

(3) $\underset{\epsilon \to 0}{lim}f\left(t,\epsilon \right)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& t=0,\\ 0,& t\ne 0.\end{array}$(15.34c)

2. $\delta$ 函数的性质

$\delta$ 函数的重要性质是

(1) ${\int }_{x-a}^{x+a}f\left(t\right)\delta \left(x-t\right)\mathrm{d}t=f\left(x\right)\left(f\text{是连续的,}a>0\right)$ .(15.35)

(2) $\delta \left(\alpha x\right)=\frac{1}{\alpha }\delta \left(x\right)\left(\alpha >0\right)$ .(15.36)

(3) $\delta \left(g\left(x\right)\right)=\sum _{i=1}^n\frac{1}{\left|g^{\prime }\left(x_i\right)\right|}\delta \left(x-x_i\right)g\left(x_i\right)=0,g^{\prime }\left(x_i\right)\ne 0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ .(15.37)

此处考虑了 $g\left(x\right)$ 的所有根,且它们必须是单根.

(4) $\delta$ 函数的 $n$ 阶导数: 对

$$\begin{array}{}\text{(15.38a)}& f^{\left(n\right)}\left(x\right)={\int }_{x-a}^{x+a}{f}^{\left(n\right)}\left(t\right)\delta \left(x-t\right)\mathrm{d}t,\end{array}$$

重复进行 $n$ 次偏积分后,可得到 $\delta$ 函数的 $n$ 阶导数法则:

$$\begin{array}{}\text{(15.38b)}& {(-1)}^n{f}^{\left(n\right)}\left(x\right)={\int }_{x-a}^{x+a}f\left(t\right){\delta }^{\left(n\right)}\left(x-t\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$