13.4.1 纯源场

一个场 ${\overrightarrow{V}}_1$ 被称为纯源场 (pure source field) 或无旋源场 (irrotational source field),当其旋度处处为零时. 若其散度 (divergence) 是 $q\left(\overrightarrow{r}\right)$ ,则有

$$\begin{array}{}\text{(13.128)}& \mathrm{div}{\overrightarrow{V}}_1=q\left(\overrightarrow{r}\right),\mathrm{rot}{\overrightarrow{V}}_1\equiv \overrightarrow{0}.\end{array}$$

在此情形,场有一个位势,它在每点 $P$ 由下述泊松微分方程 (Poisson differential equation) (参见第 951 页 13.5.2) 所定义

$$\begin{array}{}\text{(13.129a)}& {\overrightarrow{V}}_1=\mathrm{grad}U,\mathrm{div}\mathrm{grad}U=\mathrm{\Delta }U=q\left(\overrightarrow{r}\right),\end{array}$$

其中 $\overrightarrow{r}$ 是 $P$ 的位置向量. (在物理学中,经常用 ${\overrightarrow{V}}_1=-\mathrm{grad}U$ ) 从

$$\begin{array}{}\text{(13.129b)}& U\left(\overrightarrow{r}\right)=-\frac{1}{4\pi }\iiint \frac{\mathrm{div}\overrightarrow{V}\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)\mathrm{d}v\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)}{|\overrightarrow{r}-\left({\overrightarrow{r}}^{\ast }\right)|}\end{array}$$

来计算 $U$ . 上述积分是展布在整个空间上的 (图 13.19). $\overrightarrow{V}$ 的散度必须是可微的, 并且对于大距离是充分快地衰减的.