2.3.3 三次多项式

三次多项式

$$\begin{array}{}\text{(2.42)}& y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\end{array}$$

定义一三次抛物线(图 2.13(a),(b),(c)),(d),曲线的形状和函数的性质均依赖于 $a$ 和判别式 $\mathrm{\Delta }=3ac-b^2$ . 若 $\mathrm{\Delta }\ge 0$ (图 2.13(a),(b)),则当 $a>0$ 时,函数单调递增, 当 $a<0$ 时,函数单调递减. 若 $\mathrm{\Delta }<0$ ,函数恰好有一个局部极小值和一个局部极大值 (图 2.13(c)),此时当 $a>0$ 时,函数由 $-\mathrm{\infty }$ 增大到极大值,然后减到极小值,接着增大到 $+\mathrm{\infty }$ ; 当 $a<0$ 时,函数值先由 $+\mathrm{\infty }$ 减小到极小值,然后增大到极大值,接着减小到 $-\mathrm{\infty }$ . 图像与 $x$ 轴的交点为当 $y=0$ 时 (2.42) 的实根,且函数可能有一个、两个 (此时存在一点,在该点处 $x$ 轴是曲线的切线) 或三个实根 $A_1,A_2,A_3$ . 图像与 $y$ 轴的交点为 $B\left(0,d\right)$ ,曲线若有极值点 $C,D$ ,则其坐标为

$$\left(-\frac{b\pm \sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{3a},\frac{d+2b^3-9abc\pm \left(6ac-2b^2\right)\sqrt{-\mathrm{\Delta }}}{27a^2}\right).$$

拐点也为曲线的对称中心 $E\left(-\frac{b}{3a},\frac{2b^3-9abc}{27a^2}+d\right)$ ,此处切线的斜率 $\tan \phi =$${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}_E=\frac{\mathrm{\Delta }}{3a}.$