13.4.3 有点状源的向量场

13.4.3.1 一个点状荷的库仑场

库仑场 (Coulomb field) 是无旋场的一个例子, 它也是螺线管场, 除了在点源 —— 点荷 $q$ 处 (图 13.20). 对于库仑力 ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{C}}$ ,有

$${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}{q}_2\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$$$$\begin{array}{}\text{(13.131a)}& =e{q}_2\frac{\overrightarrow{r}}{r^3},e=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}.\end{array}$$

对于具有不同符号的电荷 $q_1,q_2$ ,这个力相互吸引地作用着,对于具有相同符号的点荷,这个力相互排斥地作用着. ${\epsilon }_0$ 是电常数 (参见第 1368 页表 21.2), $e$ 是源的强度. 在荷 $q_1$ 周围空间产生的,并影响荷 $q_2$ 的电场强度和电位势由下述给出

$$\begin{array}{}\text{(13.131b)}& {\overrightarrow{E}}_{\mathrm{C}}=\frac{{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{C}}}{q_2}=\frac{e}{r^3}\overrightarrow{r}=-\mathrm{grad}U,U=\frac{e}{r}.\end{array}$$

$U$ 表示场的电位势. 根据曲面 $S$ 是否包含点源,与高斯定理一致 (参见第 945 页 (13.120a)),标量流等于 $4\pi e$ 或 0 :

$$\begin{array}{}\text{(13.131c)}& {\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{S}=\{\begin{array}{ll}4\pi e,& S\text{ 包含点源,}\\ 0,& S\text{ 不包含点源. }\end{array}\end{array}$$

由于电场的无旋性, 有

$$\begin{array}{}\text{(13.131d)}& \mathrm{rot}{\overrightarrow{E}}_{\mathrm{C}}\equiv \overrightarrow{0}.\end{array}$$

13.4.3.2 一个质点的引力场

一个质点的引力场或牛顿场是无旋场也是螺线管场的第二个例子, 除了在质心点处. 对于牛顿质量吸引力 ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{N}}$ ,有

$$\begin{array}{}\text{(13.132)}& {\overrightarrow{F}}_{\mathrm{N}}=\gamma \frac{m_1{m}_2}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r,\end{array}$$

其中 $\gamma$ 是引力常数 (参见第 1368 页表 21.2). 对于库仑场成立的每个关系,类似地对于牛顿场也成立.