12.4.4 基的存在性、等距希尔伯特空间

每个可分希尔伯特空间都存在基. 据此可推出每个正交系都可以完备化成为一个基.

两个希尔伯特空间 $H_1$ 和 $H_2$ 称作等距的,或作为希尔伯特空间是同构的,是指存在一线性双射映射 $T:H_1\to H_2$ ,满足 ${(Tx,Ty)}_{H_2}={(x,y)}_{H_1}$ (即它保持标量积不变, 同时由于 (12.108) 也是保范的). 任意两个可分的希尔伯特空间都是等距的,特别地,每个这样的空间都与可分空间 ${\ell }^2$ 等距.