2.13.5 长短幅外摆线与内摆线

长短幅外摆线和长短幅内摆线也称为外旋轮线和内旋轮线, 是指一动圆绕一定圆的内侧 (内旋轮线) 或外侧 (外旋轮线) 做无滑动滚动时, 在动圆的内侧或外侧, 从动圆圆心出发的射线上一点的轨迹 (图 2.71 和图 2.72).

外旋轮线的参数方程为

$$x=\left(A+a\right)\cos \phi -\lambda a\cos \left(\frac{A+a}{a}\phi \right),$$$$\begin{array}{}\text{(2.246a)}& y=\left(A+a\right)\sin \phi -\lambda a\sin \left(\frac{A+a}{a}\phi \right),\end{array}$$

其中 $A$ 为定圆的半径, $a$ 为动圆的半径. 用 “ $-a$ ” 代替上式中的 “ $+a$ ”,得内旋轮线的参数方程. 当 $\lambda a=\overline{CP}$ 时,根据考虑的是长辐曲线还是短辐曲线,不等式 $\lambda >1$ 或 $\lambda <1$ 有一个成立.

若 $A=2a$ ,对任意 $\lambda \ne 1$ ,内摆线方程

$$\begin{array}{}\text{(2.246b)}& x=a\left(1+\lambda \right)\cos \phi ,y=a\left(1-\lambda \right)\sin \phi \left(0\le \phi <2\pi \right)\end{array}$$

是半轴为 $a\left(1+\lambda \right)$ 和 $a\left(1-\lambda \right)$ 的椭圆. 当 $A=a$ 时,曲线为帕斯卡蜗线(也可参见第 128 页 2.12.3)

$$\begin{array}{}\text{(2.246c)}& x=a\left(2\cos \phi -\lambda \cos 2\phi \right),y=a\left(2\sin \phi -\lambda \sin 2\phi \right).\end{array}$$

注 对于 128 页 2.12 .3 中的帕斯卡蜗线,用 $a$ 表示的量此处用 $2a\lambda$ 表示, $l$ 是此处的直径 $2a$ . 另外坐标系不同.