15.5.3 小波变换

对于小波 $\psi \left(t\right)$ ,可形成参数为 $a$ 的曲线族:

$$\begin{array}{}\text{(15.150)}& {\psi }_a\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\psi \left(\frac{t}{a}\right)\left(a\ne 0\right).\end{array}$$

在 $\left|a\right|>0$ 的情况下,初始函数 $\psi \left(t\right)$ 可压缩. 当 $a<0$ 时,有一个附加反射,因子 $1/\sqrt{\left|a\right|}$ 是调整因子.

也可以通过第二个参数 $b$ 平移函数 ${\psi }_a\left(t\right)$ ,则生成两参数曲线族:

$$\begin{array}{}\text{(15.151)}& {\psi }_{a,b}=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)\left(a,b\text{ 是实数; }a\ne 0\right).\end{array}$$

实平移参数 $b$ 表示一阶矩,而参数 $a$ 给出函数 ${\psi }_{a,b}\left(t\right)$ 的偏差. 函数 ${\psi }_{a,b}\left(t\right)$ 称为联系小波变换的基函数.

函数 $f\left(t\right)$ 的小波变换定义为

$$\begin{array}{}\text{(15.152a)}& {\mathcal{L}}_{\psi }f\left(a,b\right)=c{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right){\psi }_{a,b}\left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{c}{\sqrt{\left|a\right|}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$

对于其逆变换, 有

$$\begin{array}{}\text{(15.152b)}& f\left(t\right)=c{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{L}}_{\psi }f\left(t\right){\psi }_{a,b}\left(t\right)\frac{1}{a^2}\mathrm{d}a\mathrm{d}b,\end{array}$$

其中, $c$ 是依赖于特殊小波 $\psi$ 的常数.

$◼$ 使用哈尔小波 (15.144), 可给出

$$\psi \left(\frac{t-b}{a}\right)=\{\begin{array}{ll}1,& b\le t<b+a/2,\\ -1,& b+a/2\le t<b+a,\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

因此,

$${\mathcal{L}}_{\psi }f\left(a,b\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\left({\int }_b^{b+a/2}f\left(t\right)\mathrm{d}t-{\int }_{b+a/2}^{b+a}f\left(t\right)\mathrm{d}t\right)$$$$\begin{array}{}\text{(15.153)}& =\frac{\sqrt{\left|a\right|}}{2}\left(\frac{2}{a}{\int }_b^{b+a/2}f\left(t\right)\mathrm{d}t-\frac{2}{a}{\int }_{b+a/2}^{b+a}f\left(t\right)\mathrm{d}t\right).\end{array}$$

(15.153) 中给出的值 ${\mathcal{L}}_{\psi }f\left(a,b\right)$ 表示在长度为 $\frac{\left|a\right|}{2}$ 、在 $b$ 点处连接的两个相邻区间上,函数 $f\left(t\right)$ 均值的差.

注 (1) 二元小波变换在应用中有重要作用. 函数

$$\begin{array}{}\text{(15.154)}& {\psi }_{i,j}\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{2^i}}\psi \left(\frac{t-2^{i}j}{2^i}\right)\end{array}$$

被作为基函数使用,即通过对一个小波 $\psi \left(t\right)$ 进行宽度加倍或减半,以及平移宽度的整数倍生成不同的基函数.

(2) 若 (15.154) 中给出的基函数形成正交系,则称 $\psi \left(t\right)$ 为正交小波.

(3) 多贝西小波具有特别良好的数值性质. 它们是正交的具有紧支撑小波, 即仅在时间尺度的有界子集上不等于 0 . 它们没有闭合表达式 (参见 [15.10]).