2.6.5 广义误差函数

函数

$$\begin{array}{}\text{(2.61)}& y=a{\mathrm{e}}^{bx+c{x}^2}=a{\mathrm{e}}^{-\frac{b^2}{4c^2}}{\mathrm{e}}^{c{(x+\frac{b}{2c})}^2}\left(c\ne 0\right)\end{array}$$

的图像可以看作是误差函数(2.58) 的推广,关于铅直直线 $x=-\frac{b}{2c}$ 对称,且与 $x$ 轴无交点,与 $y$ 轴的交点 $D$ 为(0, a)(图 $2.30\left(\mathrm{a}\right),\left(\mathrm{b}\right)$ ).

曲线形状与 $a$ 和 $c$ 的符号有关,此处仅讨论 $a>0$ 的情况,因为 $a<0$ 时仅需将前一图形沿 $x$ 轴反射.

情形 a) $c>0$ 函数先由 $+\mathrm{\infty }$ 减小到极小值,然后再增加到 $+\mathrm{\infty }$ ,且取值恒为正. 曲线极值点 $A$ 为 $\left(-\frac{b}{2c},a{\mathrm{e}}^{\frac{b^2}{4c}}\right)$ ,对应函数的极小值; 函数无拐点和渐近线 (图 2.30(a)).

情形 $\mathrm{b})c<0$ 函数的渐近线是 $x$ 轴,曲线极值点 $A$ 为 $\left(-\frac{b}{2c},a{\mathrm{e}}^{-\frac{b^2}{4c}}\right)$ ,对应函数的极大值,拐点 $B,C$ 为 $\left(-\frac{b\pm \sqrt{-2c}}{2c},a{\mathrm{e}}^{\frac{-\left(b^2+2c\right)}{4c}}\right)$ (图 2.30(b)).